高三数学一轮复习： 重点强化训练2 平面向量

这是一份高三数学一轮复习： 重点强化训练2 平面向量，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
【导学号：01772166】
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]
2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
A．1 B.2
C.3 D.5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cs α，sin α)，若|eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(13)，α∈(0，π)，则eq \(OB,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为( )
【导学号：01772167】
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2,3)π D.eq \f(5,6)π
A [由题意，得eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(3＋cs α，sin α)，
所以|eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3＋cs α2＋sin2α)
＝eq \r(10＋6cs α)＝eq \r(13)，
即cs α＝eq \f(1,2)，
因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设eq \(OB,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(OB,\s\up7(→))·\(OC,\s\up7(→)),|\(OB,\s\up7(→))|·|\(OC,\s\up7(→))|)＝eq \f(\f(3,2)\r(3),3×1)＝eq \f(\r(3),2).
因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).]
5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.[0,1]
C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，
设E(x,0)，0≤x≤1.
又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，C(1,1)，所以eq \(EM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))，eq \(EC,\s\up7(→))＝(1－x,1)，所以eq \(EM,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))·(1－x,1)＝(1－x)2＋eq \f(1,2).因为0≤x≤1，所以eq \f(1,2)≤(1－x)2＋eq \f(1,2)≤eq \f(3,2)，即eq \(EM,\s\up7(→))·eq \(EC,\s\up7(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))).]
二、填空题
6．设O是坐标原点，已知eq \(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(10，k)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．
【导学号：01772168】
11或－2 [由题意得eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝(k－4,7)，
eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝(6，k－5)，
所以(k－4)(k－5)＝6×7，
k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]
7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))|，其中O为原点，则正实数a的值为________．
2 [由|eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))|，知eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(OB,\s\up7(→))，
∴|AB|＝2eq \r(2)，则得点O到AB的距离d＝eq \r(2)，
∴eq \f(|0×1＋1×0－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2(a>0)．]
8．在△ABC中，BC＝2，A＝eq \f(2π,3)，则eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))的最小值为________．
－eq \f(2,3) [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs eq \f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤eq \f(4,3)，所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·cs eq \f(2π,3)≥－eq \f(2,3)，(eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→)))min＝－eq \f(2,3)，当且仅当AB＝AC时等号取得．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq \(OP,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋neq \(AC,\s\up7(→))(m，n∈R).
【导学号：01772169】
(1)若m＝n＝eq \f(2,3)，求|eq \(OP,\s\up7(→))|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝eq \f(2,3)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(2,1)，
∴eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(1,2)＋eq \f(2,3)(2,1)＝(2,2)，3分
∴|eq \(OP,\s\up7(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).5分
(2)∵eq \(OP,\s\up7(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))8分
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分
10．设向量a＝(eq \r(3)sin x，sin x)，b＝(cs x，sin x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(eq \r(3)sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cs x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，从而sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝eq \f(π,6).5分
(2)f(x)＝a·b＝eq \r(3)sin x·cs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，8分
当x＝eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))取最大值1.
所以f(x)的最大值为eq \f(3,2).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝( )
A．－4 B.3
C.－11 D.10
C [a·b＝2×3×cs 60°＝3，
eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－OA＝(m－1)a－2b.
∵AB⊥AC，∴eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C.]
2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
eq \r(7) [∵a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉＝1×2×cs〈a，b〉＝1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(1，eq \r(3))．
设e＝(cs θ，sin θ)，
则|a·e|＋|b·e|＝|cs θ|＋|cs θ＋eq \r(3)sin θ|
≤|cs θ|＋|cs θ|＋|eq \r(3)sin θ|
＝2|cs θ|＋eq \r(3)|sin θ|
≤eq \r(|cs θ|2＋|sin θ|222＋3)
＝eq \r(7).]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cs x，－eq \r(3)sin 2x)，b＝(cs x,1)，x∈R.
【导学号：01772170】
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq \r(7)，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
[解] (1)f(x)＝a·b＝2cs2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，2分
令2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).5分
(2)∵f(A)＝1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,3)))＝－1.7分
又eq \f(π,3)<2A＋eq \f(π,3)∵a＝eq \r(7)，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2. 12分