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高考数学一轮复习 第8章 重点强化课4 直线与圆
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这是一份高考数学一轮复习 第8章 重点强化课4 直线与圆，共11页。
(1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点( )
【导学号：31222303】
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1)D．(2,3)
(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).]
[规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
[对点训练1] (2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )
A．7B．9
C．11D．16
B [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，
∴2n＝m(n－1)，
∴m＋2n＝mn，
又m>0，n>0，得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq \f(2n,m)＋eq \f(2m,n)≥5＋2eq \r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9.
当且仅当eq \f(2n,m)＝eq \f(2m,n)时取等号．
∴2m＋n的最小值为9.]
重点2 圆的方程
(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
【导学号：31222304】
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2eq \r(6)B．8
C．4eq \r(6)D．10
(1)C (2)C [(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．
∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2eq \r(6)或y＝－2－2eq \r(6)，
∴M(0，－2＋2eq \r(6))，N(0，－2－2eq \r(6))或M(0，－2－2eq \r(6))，N(0，－2＋2eq \r(6))，∴|MN|＝4eq \r(6).]
[规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
[对点训练2] (2017·河北唐山二模)直线l：eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．
【导学号：31222305】
(x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.
直线l的方程eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1可化为3x＋4y－12＝0，
由题意可得eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42))＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)．
∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重点3 直线与圆的综合问题
eq \a\vs4\al(☞)角度1 圆的切线
如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．
图1
(1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2 (2)－eq \r(2)－1 [(1)由题意知点C的坐标为(1，eq \r(2))，圆的半径r＝eq \r(2).
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)在(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2中，
令x＝0，解得y＝eq \r(2)±1，故B(0，eq \r(2)＋1)．
直线BC的斜率为eq \f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，
故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋eq \r(2)＋1.
令y＝0，解得x＝－eq \r(2)－1，
故所求截距为－eq \r(2)－1.]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 直线与圆相交的弦长问题
(2017·郑州质检)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．
3 [由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,n)))，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为eq \r(3).
∴eq \f(1,\r(m2＋n2))＝eq \r(3)⇒m2＋n2＝eq \f(1,3)，
S△AOB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2mn)))≥eq \f(1,m2＋n2)＝3，即三角形面积的最小值为3.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up8(→))·eq \(ON,\s\up8(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解] (1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.2分
因为直线l与圆C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).5分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).8分
eq \(OM,\s\up8(→))·eq \(ON,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.12分
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
重点强化训练(四) 直线与圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·西安质量预测)命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [两直线垂直的充要条件是6a＋3×4＝0，解得a＝－2，命题p是命题q成立的充要条件．]
2．(2017·深圳五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．1D．－1
D [因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.]
3．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )
A.eq \f(\r(6),2)B.eq \f(3,2)
C.eq \f(9,4)D．2eq \r(3)
C [两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2＝2＋1＝3.
∴(a＋b)2＋(－2＋2)2＝9，则(a＋b)2＝9.
由基本不等式，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(9,4).]
4．过点P(－eq \r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
【导学号：31222306】
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
D [因为l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋eq \r(3))，
即kx－y＋eq \r(3)k－1＝0，
则圆心到l的距离d＝eq \f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2)).
依题意，得eq \f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))≤1，解得0≤k≤eq \r(3).
故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).]
5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，y轴被圆C截得的弦长与直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长相等，则b＝( )
【导学号：31222307】
A．－eq \r(6)B．±eq \r(6)
C．－eq \r(5)D．±eq \r(5)
D [在(x－1)2＋(y－2)2＝2中，令x＝0，得(y－2)2＝1，解得y1＝3，y2＝1，则y轴被圆C截得的弦长为2，所以直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长为2，所以圆心C(1,2)到直线y＝2x＋b的距离为1，
即eq \f(|2×1－2＋b|,\r(5))＝1，解得b＝±eq \r(5).]
二、填空题
6．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．
【导学号：31222308】
2x－y－7＝0 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5＝0，,3x－4y－13＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k＝2.
则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]
7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________.
2 [因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，
由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．
因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－eq \f(1,2)，
所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]
8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．
0或6 [由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq \f(3\r(2),2).由点到直线的距离得eq \f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
解得a＝0或a＝6.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
[解] 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分
(1)若直线l与圆C相切，则有eq \f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq \f(3,4).5分
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))8分
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.12分
10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).2分
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.5分
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.7分
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，10分
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，
所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝eq \f(1,\r(k2＋1)).
又弦长为2eq \r(1－\f(1,k2＋1))＝eq \f(2|k|,\r(k2＋1))，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)·eq \f(1,\r(k2＋1))·eq \f(2|k|,\r(k2＋1))＝eq \f(|k|,k2＋1)＝eq \f(1,2)，
解得k＝±1.
因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为eq \f(1,2)”的充分不必要条件．]
2．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．
x＋y－2＝0 [设过P点的直线为l，当OP⊥l时，过P点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．
由点P(1,1)知kOP＝1，
所以所求直线的斜率k＝－1.
由点斜式得，所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.]
3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．
(1)求直线l1的方程；
(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围；
(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由. 【导学号：31222309】
[解] (1)圆C的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，于是圆心C(3,2)，半径r＝3.1分
若设直线l1的斜率为k，则k＝－eq \f(1,kPC)＝－eq \f(1,\f(1,2))＝－2.
所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.3分
(2)因为圆的半径r＝3，所以要使直线l2与圆C相交，则有eq \f(|3＋2＋b|,\r(2))<3，5分
所以|b＋5|<3eq \r(2)，
于是b的取值范围是－3eq \r(2)－5(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0，y0)，则直线l2与CM垂直，
于是有eq \f(y0－2,x0－3)＝1，
整理可得x0－y0－1＝0.
又因为点M(x0，y0)在直线l2上，所以x0＋y0＋b＝0.
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0－y0－1＝0，,x0＋y0＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1－b,2)，,y0＝－\f(1＋b,2).))10分
代入直线l1的方程得1－b－eq \f(1＋b,2)－13＝0，
于是b＝－eq \f(25,3)∈(－3eq \r(2)－5,3eq \r(2)－5)，
故存在满足条件的常数b.12分
(1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点( )
【导学号：31222303】
A．(1，－3) B．(4,3)
C．(3,1)D．(2,3)
(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).]
[规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
[对点训练1] (2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )
A．7B．9
C．11D．16
B [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，
∴2n＝m(n－1)，
∴m＋2n＝mn，
又m>0，n>0，得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq \f(2n,m)＋eq \f(2m,n)≥5＋2eq \r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9.
当且仅当eq \f(2n,m)＝eq \f(2m,n)时取等号．
∴2m＋n的最小值为9.]
重点2 圆的方程
(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
【导学号：31222304】
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2eq \r(6)B．8
C．4eq \r(6)D．10
(1)C (2)C [(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．
∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2eq \r(6)或y＝－2－2eq \r(6)，
∴M(0，－2＋2eq \r(6))，N(0，－2－2eq \r(6))或M(0，－2－2eq \r(6))，N(0，－2＋2eq \r(6))，∴|MN|＝4eq \r(6).]
[规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
[对点训练2] (2017·河北唐山二模)直线l：eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．
【导学号：31222305】
(x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.
直线l的方程eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1可化为3x＋4y－12＝0，
由题意可得eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42))＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)．
∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重点3 直线与圆的综合问题
eq \a\vs4\al(☞)角度1 圆的切线
如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．
图1
(1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2 (2)－eq \r(2)－1 [(1)由题意知点C的坐标为(1，eq \r(2))，圆的半径r＝eq \r(2).
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)在(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2中，
令x＝0，解得y＝eq \r(2)±1，故B(0，eq \r(2)＋1)．
直线BC的斜率为eq \f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，
故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋eq \r(2)＋1.
令y＝0，解得x＝－eq \r(2)－1，
故所求截距为－eq \r(2)－1.]
eq \a\vs4\al(☞)角度2 直线与圆相交的弦长问题
(2017·郑州质检)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．
3 [由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,n)))，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为eq \r(3).
∴eq \f(1,\r(m2＋n2))＝eq \r(3)⇒m2＋n2＝eq \f(1,3)，
S△AOB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2mn)))≥eq \f(1,m2＋n2)＝3，即三角形面积的最小值为3.]
eq \a\vs4\al(☞)角度3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up8(→))·eq \(ON,\s\up8(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解] (1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.2分
因为直线l与圆C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，
解得eq \f(4－\r(7),3)
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).8分
eq \(OM,\s\up8(→))·eq \(ON,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.12分
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
重点强化训练(四) 直线与圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·西安质量预测)命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [两直线垂直的充要条件是6a＋3×4＝0，解得a＝－2，命题p是命题q成立的充要条件．]
2．(2017·深圳五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．1D．－1
D [因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.]
3．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )
A.eq \f(\r(6),2)B.eq \f(3,2)
C.eq \f(9,4)D．2eq \r(3)
C [两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2＝2＋1＝3.
∴(a＋b)2＋(－2＋2)2＝9，则(a＋b)2＝9.
由基本不等式，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(9,4).]
4．过点P(－eq \r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
【导学号：31222306】
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
D [因为l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋eq \r(3))，
即kx－y＋eq \r(3)k－1＝0，
则圆心到l的距离d＝eq \f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2)).
依题意，得eq \f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))≤1，解得0≤k≤eq \r(3).
故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).]
5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，y轴被圆C截得的弦长与直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长相等，则b＝( )
【导学号：31222307】
A．－eq \r(6)B．±eq \r(6)
C．－eq \r(5)D．±eq \r(5)
D [在(x－1)2＋(y－2)2＝2中，令x＝0，得(y－2)2＝1，解得y1＝3，y2＝1，则y轴被圆C截得的弦长为2，所以直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长为2，所以圆心C(1,2)到直线y＝2x＋b的距离为1，
即eq \f(|2×1－2＋b|,\r(5))＝1，解得b＝±eq \r(5).]
二、填空题
6．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．
【导学号：31222308】
2x－y－7＝0 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5＝0，,3x－4y－13＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k＝2.
则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]
7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________.
2 [因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，
由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．
因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－eq \f(1,2)，
所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]
8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．
0或6 [由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq \f(3\r(2),2).由点到直线的距离得eq \f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
解得a＝0或a＝6.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
[解] 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分
(1)若直线l与圆C相切，则有eq \f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq \f(3,4).5分
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))8分
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.12分
10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).2分
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.5分
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.7分
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，10分
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，
所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝eq \f(1,\r(k2＋1)).
又弦长为2eq \r(1－\f(1,k2＋1))＝eq \f(2|k|,\r(k2＋1))，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)·eq \f(1,\r(k2＋1))·eq \f(2|k|,\r(k2＋1))＝eq \f(|k|,k2＋1)＝eq \f(1,2)，
解得k＝±1.
因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为eq \f(1,2)”的充分不必要条件．]
2．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．
x＋y－2＝0 [设过P点的直线为l，当OP⊥l时，过P点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．
由点P(1,1)知kOP＝1，
所以所求直线的斜率k＝－1.
由点斜式得，所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.]
3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．
(1)求直线l1的方程；
(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围；
(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由. 【导学号：31222309】
[解] (1)圆C的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，于是圆心C(3,2)，半径r＝3.1分
若设直线l1的斜率为k，则k＝－eq \f(1,kPC)＝－eq \f(1,\f(1,2))＝－2.
所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.3分
(2)因为圆的半径r＝3，所以要使直线l2与圆C相交，则有eq \f(|3＋2＋b|,\r(2))<3，5分
所以|b＋5|<3eq \r(2)，
于是b的取值范围是－3eq \r(2)－5
于是有eq \f(y0－2,x0－3)＝1，
整理可得x0－y0－1＝0.
又因为点M(x0，y0)在直线l2上，所以x0＋y0＋b＝0.
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0－y0－1＝0，,x0＋y0＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1－b,2)，,y0＝－\f(1＋b,2).))10分
代入直线l1的方程得1－b－eq \f(1＋b,2)－13＝0，
于是b＝－eq \f(25,3)∈(－3eq \r(2)－5,3eq \r(2)－5)，
故存在满足条件的常数b.12分
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