2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－4　坐标系与参数方程 第1讲　高效演练 分层突破学案

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1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2x′，,y＝3y′，))所以4x′2＋9y′2＝36，即eq \f(x′2,9)＋eq \f(y′2,4)＝1.
所以曲线C在伸缩变换后得椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
其焦点坐标为(±eq \r(5)，0)．
2．在极坐标系中，圆C是以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(11π,6)))为圆心，2为半径的圆．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求圆C被直线l：θ＝eq \f(7π,12)(ρ∈R)所截得的弦长．
解：(1)圆C是将圆ρ＝4cs θ绕极点按顺时针方向旋转eq \f(π,6)而得到的圆，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))).
(2)将θ＝－eq \f(5π,12)代入圆C的极坐标方程ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，得ρ＝2eq \r(2)，
所以，圆C被直线l：θ＝eq \f(7π,12)，即直线θ＝－eq \f(5π,12)所截得的弦长为2eq \r(2).
3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝4cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ<\f(π,2)))，C2：ρcs θ＝3.
(1)求C1与C2的交点的极坐标；
(2)设点Q在C1上，eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(OP,\s\up6(→))，求动点P的极坐标方程．
解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρcs θ＝3，,ρ＝4cs θ，))得cs θ＝±eq \f(\r(3),2)，
因为0≤θ所以θ＝eq \f(π,6)，ρ＝2eq \r(3)，
所以交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，\f(π,6))).
(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cs θ0，θ0∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
由eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(OP,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ0＝\f(2,5)ρ，,θ0＝θ，))
所以eq \f(2,5)ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以点P的极坐标方程为ρ＝10cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
4．(2020·黑龙江哈尔滨三中一模)已知曲线C1：x＋eq \r(3)y＝eq \r(3)和C2：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(6)cs φ，,y＝\r(2)sin φ))(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
解：(1)因为C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(6)cs φ，,y＝\r(2)sin φ))(φ为参数)，
所以其普通方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1，又C1：x＋eq \r(3)y＝eq \r(3)，
所以可得极坐标方程分别为C1：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，C2：ρ2＝eq \f(6,1＋2sin2θ).
(2)易知M(eq \r(3)，0)，N(0，1)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
所以OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)，
把θ＝eq \f(π,6)代入ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
得ρ1＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,6)))，
把θ＝eq \f(π,6)代入ρ2＝eq \f(6,1＋2sin2θ)，
得ρ2＝2，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，
所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，
即P，Q两点间的距离为1.
5．直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t为参数)，
ρsin2θ＝2cs θ，即ρ2sin2θ＝2ρcs θ，将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得
t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝eq \f(20,sin2α)，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，得α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4).
又Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝eq \f(π,4).
6．(2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝eq \f(π,3)，求△OAB面积的最大值．
解：(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为
(x－2)2＋y2＝4，
故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋eq \f(π,3))，其中ρ1>0，ρ2>0，－eq \f(π,2)<θ0△OAB面积S＝eq \f(1,2)ρ1ρ2sin eq \f(π,3)＝4eq \r(3)cs θ0cs(θ0＋eq \f(π,3))，
S＝2eq \r(3)cs2θ0－6sin θ0cs θ0＝eq \r(3)(1＋cs 2θ0)－3sin 2θ0＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ0＋\f(π,3)))＋eq \r(3)，
当2θ0＋eq \f(π,3)＝0时，即θ0＝－eq \f(π,6)时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ0＋\f(π,3)))有最大值1.此时Smax＝3eq \r(3).
故△OAB面积的最大值为3eq \r(3).
[综合题组练]
1．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs φ,y＝1＋sin φ))(φ为参数)，
过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求l和M的极坐标方程；
(2)当α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，求|OA|＋|OB|的取值范围．
解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
曲线M的普通方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝1，
因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，
所以M的极坐标方程为ρ2－2(cs θ＋sin θ)ρ＋1＝0.
(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，
将θ＝α代入ρ2－2(cs θ＋sin θ)ρ＋1＝0，
得ρ2－2(cs α＋sin α)ρ＋1＝0，
当α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，Δ＝4sin 2α>0，
所以ρ1＋ρ2＝2(cs α＋sin α)，
根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．
从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cs α＋sin α)＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
当α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
故|OA|＋|OB|的取值范围是(2，2eq \r(2)]．
2．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)求曲线C2上的点到直线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)距离的最大值．
解：(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，
由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝eq \f(4,ρ1).
因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2，
即eq \f(4,ρ1)sin θ＝2，ρ1＝2sin θ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
即x2＋y2－2y＝0，
化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，
则曲线C2的圆心坐标为(0，1)，半径为1，
由直线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，
得ρcs θcs eq \f(π,4)－ρsin θsin eq \f(π,4)＝eq \r(2)，
即x－y＝2，
圆心(0，1)到直线x－y＝2的距离为
d＝eq \f(|0－1－2|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以曲线C2上的点到直线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)距离的最大值为1＋eq \f(3\r(2),2).