高三数学一轮复习： 第8章 第7节 抛物线

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第七节　抛物线 [考纲传真]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A.　　　　　　　　 B.C.  D.0B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　　　　　 B.y＝－2C．x＝－1  D.x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.2　[抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9　[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]抛物线的定义及应用　(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)A．1　　　　　　 B.2C．4  D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)A．3  B.4C．5  D.＋1(1)A　(2)A　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.][规律方法]　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1]　(2017·郑州调研)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则|QF|＝(　　)A.  B.C．3  D.2C　[∵＝4 ，∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝，∴|QQ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3.]抛物线的标准方程与几何性质　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) 【导学号：01772323】A．x2＝y　　　　 B.x2＝y或x2＝－yC．x2＝－y  D.x2＝12y或x2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2  B.4C．6  D.8(1)D　(2)B　[(1)将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.(2)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.][规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2]　(1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 (　　)A．y2＝6x  B.y2＝8xC．y2＝16x  D.y2＝(2)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B　(2)x＝－2　[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p.又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.(2)由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y2＝2px的焦点为.依题意，得＝2，于是抛物线的准线x＝－2.]直线与抛物线的位置关系☞角度1　直线与抛物线的交点问题　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由． [解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，2分故直线ON的方程为y＝x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,    解得x1＝0，x2＝.因此H.所以N为OH的中点，即＝2.5分(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).8分代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.12分[规律方法]　1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2　与抛物线弦长或中点有关的问题　(2017·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8. 【导学号：01772324】(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．[解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.5分(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.6分由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.8分由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0).10分故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.12分[规律方法]　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝＝x1＋x2＋p.[易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．