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2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第10章第3讲 抛物线
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这是一份2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第10章第3讲 抛物线，共47页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，提素养∙数学文化，考情解读，思维导引，素养探源等内容，欢迎下载使用。
考点1 抛物线的定义
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考法1 抛物线定义的应用
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法3 直线与抛物线的位置关系
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
考点1 抛物线的定义考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.注意 (1)定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线;(2)抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化.
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考法1 抛物线 定义的应用考法2 抛物线的标准方程及几何性质考法3 直线与抛物线的位置关系
考法1 抛物线定义的应用
示例1 (1)[2020全国卷Ⅰ,4,5分][理]已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.9(2)[并列型]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为 .
方法技巧1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.注意 一定要验证定点是否在定直线上.
2.抛物线定义的应用规律注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即函数的定义域.
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
方法技巧1.抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(p的值为焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的形式已经确定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,要对四种形式的标准方程进行分类讨论.
①对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向不确定需分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解;②焦点在x轴上的抛物线为避开讨论,也可设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应从x轴、y轴两种情况考虑,再设方程.2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
考法3 直线与抛物线的位置关系
解析 如图10-3-5,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l,交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=|AF|=4.由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
规律总结 1.抛物线的焦半径与焦点弦抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
(4)若N为准线与x轴的交点,则∠ANF=∠BNF.(5)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.(6)以A1B1为直径的圆与AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°.(7)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点的最短的弦.(8)以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(9)若M1为A1B1的中点,则M1A⊥M1B.(10)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(11)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
方法技巧 直线与抛物线的位置关系的求解策略(1)直线与抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法:把直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,①若Δ>0,则直线与抛物线相交;②若Δ=0,则直线与抛物线相切;③若Δ<0,则直线与抛物线相离.若得到的是一元一次方程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合).(2)直线与抛物线相交时,常采用根与系数的关系和点差法求解;直线与抛物线相离时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相切时,切线的斜率可以用导数求解.(3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线
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提素养∙ 数学文化数学文化 阿基米德三角形的几何性质
思维拓展 阿基米德三角形的几何性质圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.过抛物线x2=2py(p>0)上A,B两点作抛物线的切线,两切线相交于点P,则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F(如图10-3-8所示),则△PAB有以下基本性质:(1)点P必在抛物线的准线上.(2)△PAB为直角三角形,且∠APB为直角.
考点1 抛物线的定义
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考法1 抛物线定义的应用
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
考法3 直线与抛物线的位置关系
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学文化 阿基米德三角形的几何性质
考点1 抛物线的定义考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.注意 (1)定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线;(2)抛物线的定义指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化.
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
考法1 抛物线 定义的应用考法2 抛物线的标准方程及几何性质考法3 直线与抛物线的位置关系
考法1 抛物线定义的应用
示例1 (1)[2020全国卷Ⅰ,4,5分][理]已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=A.2B.3C.6D.9(2)[并列型]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为 .
方法技巧1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.注意 一定要验证定点是否在定直线上.
2.抛物线定义的应用规律注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即函数的定义域.
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
方法技巧1.抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(p的值为焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的形式已经确定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,要对四种形式的标准方程进行分类讨论.
①对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向不确定需分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解;②焦点在x轴上的抛物线为避开讨论,也可设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应从x轴、y轴两种情况考虑,再设方程.2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
考法3 直线与抛物线的位置关系
解析 如图10-3-5,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l,交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=|AF|=4.由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
规律总结 1.抛物线的焦半径与焦点弦抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
(4)若N为准线与x轴的交点,则∠ANF=∠BNF.(5)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.(6)以A1B1为直径的圆与AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°.(7)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点的最短的弦.(8)以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(9)若M1为A1B1的中点,则M1A⊥M1B.(10)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(11)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
方法技巧 直线与抛物线的位置关系的求解策略(1)直线与抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法:把直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,①若Δ>0,则直线与抛物线相交;②若Δ=0,则直线与抛物线相切;③若Δ<0,则直线与抛物线相离.若得到的是一元一次方程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合).(2)直线与抛物线相交时,常采用根与系数的关系和点差法求解;直线与抛物线相离时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相切时,切线的斜率可以用导数求解.(3)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线
高分帮·“双一流”名校冲刺
提素养∙ 数学文化数学文化 阿基米德三角形的几何性质
思维拓展 阿基米德三角形的几何性质圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形.过抛物线x2=2py(p>0)上A,B两点作抛物线的切线,两切线相交于点P,则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F(如图10-3-8所示),则△PAB有以下基本性质:(1)点P必在抛物线的准线上.(2)△PAB为直角三角形,且∠APB为直角.
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