高三数学一轮复习： 第8章 第8节 课时分层训练52

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第8节 课时分层训练52，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．方程(2x＋3y－1)(eq \r(x－3)－1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线 B.两条射线
C．两条线段 D.一条直线和一条射线
D [原方程可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,x－3≥0))或eq \r(x－3)－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．]
2．(2017·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0
D [由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.]
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
D [如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝eq \r(|MA|2＋|PA|2)＝eq \r(2)，则|PM|2＝2，
∴点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.]
4．(2016·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq \(BP,\s\up7(→))＝2eq \(PA,\s\up7(→))，且eq \(OQ,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.eq \f(3,2)x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋eq \f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)
A [设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.
由eq \(BP,\s\up7(→))＝2eq \(PA,\s\up7(→))，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即a＝eq \f(3,2)x＞0，b＝3y＞0.
点Q(－x，y)，故由eq \(OQ,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
即ax＋by＝1.
将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．]
5．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq \(OC,\s\up7(→))＝λ1 eq \(OA,\s\up7(→))＋λ2eq \(OB,\s\up7(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
【导学号：01772337】
A．直线 B.椭圆
C．圆 D.双曲线
A [设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up7(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(－1,3)．∵eq \(OC,\s\up7(→))＝λ1eq \(OA,\s\up7(→))＋λ2eq \(OB,\s\up7(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．]
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，则动点C的轨迹方程是__________．
【导学号：01772338】
y2＝8x [eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))－(－2，y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(y,2)))，
eq \(BC,\s\up7(→))＝(x，y)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,2))).
∵eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，∴eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(y,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,2)))＝0，即y2＝8x.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.]
7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是__________．
【导学号：01772339】
x2＝12y [由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，
故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.]
8．(2017·中原名校联考)已知双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为__________．
eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠0且x≠±eq \r(2)) [由题设知|x1|>eq \r(2)，A1(－eq \r(2)，0)，A2(eq \r(2)，0)，则有
直线A1P的方程为y＝eq \f(y1,x1＋\r(2))(x＋eq \r(2))，①
直线A2Q的方程为y＝eq \f(－y1,x1－\r(2))(x－eq \r(2))，②
联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,x1)，,y＝\f(\r(2)y1,x1)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(2,x)，,y1＝\f(\r(2)y,x)，))③
∴x≠0，且|x|