高三数学一轮复习： 选修4-4 第1节 坐标系

选修4－4　坐标系与参数方程

第一节　坐标系

 [考纲传真]　1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

2．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

图1

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

3．极坐标与直角坐标的互化

4.圆的极坐标方程

5.直线的极坐标方程

(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．

(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.

(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)

(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，

∴ρ＝.]

3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．

x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]

4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．

　[由2ρsin＝，得2ρ＝，

∴y－x＝1.

由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．

∴点A到直线l的距离d＝＝.]

5．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．

[解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.2分

圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，4分

化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分

则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，

所以圆C的半径为.10分

　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

[解]　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得2分

由x＋y＝1得x2＋2＝1，

故曲线C的方程为x2＋＝1.5分

(2)由解得或6分

不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，8分

于是所求直线方程为y－1＝，

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

故所求直线的极坐标方程为ρ＝.10分

[规律方法]　1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．

2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．

[变式训练1]　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：

【导学号：01772437】

(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；

(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．

[解]　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换

φ：得2分

∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.

∴点A′的坐标为(1，－1).5分

(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．

由伸缩变换φ：得8分

代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，

∴y′＝x′为所求直线l′的方程.10分

　(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

[解]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.4分

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.8分

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.10分

[迁移探究1]　若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标．

[解]　联立方程

解得θ＝且ρ＝－2.6分

所以交点的极坐标为.10分

[迁移探究2]　本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程．

[解]　因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，

设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，

所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.6分

故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0.10分

[规律方法]　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．

2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．

[变式训练2]　(2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．

[解]　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，

∴x－y－1＝0，表示一条直线.2分

由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.

∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆.4分

(2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，

因此直线C1过圆C2的圆心.6分

∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．

因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.10分

　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.2分

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.4分

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，

由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，8分

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．

所以a＝1.10分

[规律方法]　1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．

2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

[变式训练3]　(2017·太原市质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

[解]　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.

∴ρsin＝.2分

曲线C2化为＋＝1.(*)

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式

得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.

∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.4分

(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，

∴OP的极坐标方程为θ＝，6分

把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.

把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.8分

∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.10分

[思想与方法]

1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．

2．确定极坐标方程的四要素：

极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．

[易错与防范]

1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．

2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：

(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．

(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．