高三数学一轮复习： 第2章 第4节 二次函数与幂函数

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能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象与性质
2.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )
A.eq \r(3) B.±eq \r(3)
C．±eq \r(9) D.9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝x＝eq \r(x)，
故f(m)＝eq \r(m)＝3⇒m＝9.]
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,20))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,20)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,20)，0))
C [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,1－20a＜0，))得a＞eq \f(1,20).]
4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是( )
A．0 B.1
C.2 D.4
C [因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]
5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.
【导学号：01772037】
y＝－x2＋2x＋8 [设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，
当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1，
∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【导学号：01772038】
[解] 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 2分
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))8分
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的图象的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2). 3分
∴m＝eq \f(1,2).又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8. 8分
∵f(2)＝－1，∴aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7. 12分
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 6分
又函数的最大值是8，即eq \f(4a－2a－1－－a2,4a)＝8，
解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下
[变式训练1] 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2. 2分
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3. 6分
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1. 10分
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3. 12分
☞角度1 二次函数图象的识别及应用
(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0)) [(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－eq \f(b,2a)＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－eq \f(b,2a)＜0，B错误．
(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＜0，,fm＋1＜0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))解得－eq \f(\r(2),2)＜m＜0.]
☞角度2 二次函数的最值问题
(1)(2017·广西一模)若xlg52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为( )
A．－4 B.－3
C．－1 D.0
(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为( )
【导学号：01772039】
A．2 B.－1或－3
C．2或－3 D.－1或2
(1)A (2)D [(1)xlg52≥－1⇒lg52x≥lg55－1⇒2x≥eq \f(1,5)，
令t＝2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥\f(1,5)))，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，
当t＝1≥eq \f(1,5)，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A.
(2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：
①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.
②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
由a2－a＋1＝2，解得a＝eq \f(1＋\r(5),2)或a＝eq \f(1－\r(5),2).∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．
③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.]
☞角度3 二次函数中的恒成立问题
已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3＜0，适合；
当x≠0时，a＜eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq \f(1,6). 4分
因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
当x＝1时，右边取最小值eq \f(1,2)，所以a＜eq \f(1,2). 10分
综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))). 12分
[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
A B C D
(2)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．
(1)C (2)1 [(1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝xeq \f(1,2).
(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
又m∈N*，∴m＝1或m＝2.
由于f(x)的图象关于y轴对称．
∴m2－2m－3的值应为偶数，
又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，
∴m＝2舍去．因此m＝1.]
[规律方法] 1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
[变式训练2] (1)设a＝0.5，b＝0.9，c＝lg50.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B.c＞a＞b
C．a＞b＞c D.b＞a＞c
(2)若(a＋1) ＜(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．
(1)D (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) [(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝lg50.3＜0，所以b＞a＞c.
(2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1＜3－2a，))解得－1≤a＜eq \f(2,3).]
[思想与方法]
1．二次函数的三种形式的选法
(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．
(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．
2．研究二次函数的性质要注意
(1)结合图象分析；
(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．
3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
[易错与防范]
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
求二次函数的解析式
二次函数的图象与性质
幂函数的图象与性质