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    高考数学一轮复习考点突破讲与练 第2章 第3节 二次函数与幂函数 (含解析)

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    这是一份高考数学一轮复习考点突破讲与练 第2章 第3节 二次函数与幂函数 (含解析),共16页。


    第三节二次函数与幂函数

    1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,了解它们的变化情况.
     2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
    突破点一 幂函数


    1.幂函数的定义
    形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.对于幂函数,只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.
    2.五种幂函数的图象

    3.五种幂函数的性质
    函数
    性质
    y=x
    y=x2
    y=x3
    y=x
    y=x-1
    定义域
    R
    R
    R
    [0,+∞)
    (-∞,0)∪(0,+∞)
    值域
    R
    [0,+∞)
    R
    [0,+∞)
    (-∞,0)∪(0,+∞)
    奇偶性



    非奇非偶

    单调性

    x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]时,减


    x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数.(  )
    (2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).(  )
    (3)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )
    答案:(1)× (2)× (3)√
    二、填空题
    1.(2019·贵阳监测)已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f=________.
    解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,将代入解析式得3-α=,解得α=-,∴f(x)=x,f=.
    答案:
    2.设α∈,则使f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值是________.
    解析:因为f(x)=xα为奇函数,所以α=-1,1,3.
    又因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以α=-1.
    答案:-1
    3.若y=ax是幂函数,则该函数的值域是________.
    解析:由y=ax是幂函数,得a=1,所以y=x,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞)
    答案:[0,+∞)


    1.与函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是(  )

    解析:选B y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示),将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.
    2.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为(  )
    A.b C.c 解析:选C 因为a=81,b=16,c=12,由幂函数y=x在(0,+∞)上为增函数,知a>b>c,故选C.
    3.(2019·河北保定调考)幂函数f(x)=(m2-4m+4)·x在(0,+∞)上为增函数,则m的值为(  )
    A.1或3          B.1
    C.3 D.2
    解析:选B 由题知解得m=1,故选B.

    幂函数图象与性质的应用
    (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;
    (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

    1.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  )
    A.a C.b 解析:选D ∵y=x (x>0)是增函数,∴a=>b=.∵y=x是减函数
    ,∴a= 2.若(2m+1)>(m2+m-1),则实数m的取值范围是(  )
    A. B.
    C.(-1,2) D.
    解析:选D 因为函数y=x的定义域为[0,+∞),
    且在定义域内为增函数,
    所以不等式等价于解得
    即≤m<2.故选D.
    突破点二 二次函数


    1.二次函数解析式的三种形式
    一般式
    f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-,顶点坐标是
    顶点式
    f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n)
    零点式
    f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是x=
    2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

    a>0
    a<0
    图象


    定义域
    R
    值域


    奇偶性
    b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
    单调性
    在上单调递减,在-,+∞上单调递增
    在上单调递增,在-,+∞上单调递减
    最值
    当x=-时,ymin=
    当x=-时,ymax=

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(  )
    (2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.(  )
    (3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.(  )
    答案:(1)× (2)× (3)√
    二、填空题
    1.已知抛物线y=8x2-(m+1)x+m-7的顶点在x轴上,则m=________.
    解析:∵抛物线y=8x2-(m+1)x+m-7的顶点在x轴上,
    ∴其顶点的纵坐标=0,
    即m2-30m+225=0,∴(m-15)2=0,∴m=15.
    答案:15
    2.若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,则b=________.
    解析:若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1对称,则a+b=2,-=1.∴a=-4,b=2-a=6.
    答案:6
    3.函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是________,最大值是________.
    解析:∵f(x)=22-在[-1,1]上为减函数,∴当x=1时,f(x)min=-3;当x=-1时,f(x)max=9.
    答案:-3 9


    考法一 求二次函数的解析式 
    [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
    [解] 法一(利用一般式):
    设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
    由题意得解得
    ∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
    法二(利用顶点式):
    设f(x)=a(x-m)2+n.
    ∵f(2)=f(-1),
    ∴抛物线的对称轴为x==,∴m=.
    又根据题意,函数有最大值8,∴n=8,
    ∴f(x)=a2+8.
    ∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,
    ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
    法三(利用零点式):
    由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
    故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
    即f(x)=ax2-ax-2a-1.
    又函数有最大值ymax=8,
    即=8.
    解得a=-4或a=0(舍).
    ∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
    [方法技巧]  求二次函数解析式的方法
    根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

    考法二 二次函数的图象与性质 
    二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低,与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.
    考向一 二次函数的图象识别
    [例2] (2019·甘肃武威模拟)
    如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
    ①b2>4ac;②2a-b=1;
    ③a-b+c=0;④5a 其中正确的结论是(  )
    A.②④         B.①④
    C.②③ D.①③


    [解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又∵函数的图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a [答案] B
    [方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”

    考向二 二次函数的性质应用
    [例3] (1)(2018·河南南阳二模)若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),则(  )
    A.f(2) C.f(2) (2)(2019·齐齐哈尔八中月考)“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    [解析] (1)∵函数f(x)=ax2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),∴函数图象关于x=2对称,由a>0知f(x)min=f(2),由2-1<4-2,得f(1) (2)由a=1可得f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x=2,所以f(x)在区间[2,+∞)上为增函数.由函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数,可得2a≤2,解得a≤1.所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选A.
    [答案] (1)A (2)A
    [方法技巧]
    解决二次函数图象与性质问题的2个注意点
    (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;
    (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解. 
     
    考向三 二次函数的最值问题
    [例4] 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
    (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
    (2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
    [解] (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=2-,
    又x∈[-2,3],所以f(x)min=f=-,
    f(x)max=f(3)=15,所以所求函数的值域为.
    (2)对称轴为x=-.
    ①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,
    所以6a+3=1,即a=-,满足题意;
    ②当-≥3,即a≤-时,f(x)max=f(1)=2a-3,
    所以2a-3=1,即a=2,不满足题意;
    ③当1<-<3,即- 此时f(x)max在端点处取得,
    令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),
    令f(3)=9+3(2a-1)-3=1,得a=-(舍去).
    综上,可知a=-.
    [方法技巧]
    求二次函数在给定区间上最值的方法
    二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下:
    (1)当-∈[m,n],即对称轴在所给区间内时:
    f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f=;若-≤,f(x)的最大值为f(n);若-≥,f(x)的最大值为f(m).
    (2)当-∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时:
    f(x)在[m,n]上是单调函数.若- (3)当不能确定对称轴-是否属于区间[m,n]时:
    则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.  

    1.二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是(  )
    A.f(x)=2x2-8x+11
    B.f(x)=-2x2+8x-1
    C.f(x)=2x2-4x+3
    D.f(x)=-2x2+4x+3
    解析:选D 二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),则图象的对称轴为x=1,
    又由函数的最大值是5,可设f(x)=a(x-1)2+5(a≠0),于是3=a+5,解得a=-2,
    故f(x)=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3.故选D.
    2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(  )

    解析:选D 当a<0时,b,c异号,排除A、B两项;当a>0时,b,c同号,排除C项;D项中,由图象知a>0,c<0,->0,故b<0,符合题意.
    3.已知函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1 A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)>f(x2)
    C.f(x1) 解析:选C 由题知二次函数f(x)的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=,
    因为x1+x2=0,
    所以直线x=x1,x=x2关于直线x=0对称,
    由x1
    4.函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是(  )
    A.[0,1] B.[0,2]
    C.[-2,0] D.[-1,0]
    解析:选D y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2.
    ∵函数在[0,1]上的最大值是a2,
    ∴0≤-a≤1,即-1≤a≤0.
    [课时跟踪检测]
    [A级 基础题——基稳才能楼高]
    1.(2019·绵阳模拟)幂函数y=(m2-3m+3)xm的图象过点(2,4),则m=(  )
    A.-2          B.-1
    C.1 D.2
    解析:选D ∵幂函数y=(m2-3m+3)xm的图象过点(2,4),∴解得m=2.故选D.
    2.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为(  )
    A.-3 B.2
    C.-2 D.1
    解析:选C 函数f(x)=x2-2x+m图象的对称轴为x=1<3,二次函数图象的开口向上,所以f(x)在[3,+∞)上是增函数,因为函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1,即9-6+m=1,解得m=-2,故选C.
    3.(2019·江西赣州厚德外国语学校阶段测试)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是(  )
    A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
    B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
    C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数
    D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
    解析:选C 设f(x)=xa,将点(3,)代入f(x)=xa,解得a=,所以f(x)=x,可知函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选C.
    4.(2019·许昌四校联考)设a,b满足0 A.aa C.aa
    解析:选C D中,幂函数y=xb(0 又因为aab,D错误;
    A中,指数函数y=ax(0ab,所以A错误;
    B中,指数函数y=bx(0bb,所以B错误.故选C.
    5.(2019·重庆三校联考)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴方程是x=1,并且过点P(-1,7),则a,b的值分别是(  )
    A.2,4 B.-2,4
    C.2,-4 D.-2,-4
    解析:选C ∵y=ax2+bx+1的图象的对称轴方程是x=1,
    ∴-=1. ①
    又图象过点P(-1,7),
    ∴a-b+1=7,即a-b=6, ②
    联立①②解得a=2,b=-4,故选C.
    6.(2019·甘肃天水六校联考)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是(  )
    A.(0,4] B.
    C. D.
    解析:选C f(x)=x2-3x-4=2-,所以f=-.又f(0)=-4,所以由二次函数的图象可知,m的最小值为,最大值为3,所以m的取值范围是,故选C.
    [B级 保分题——准做快做达标]
    1.(2019·衡水武邑中学开学考试)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是(  )
    A.f(x)=x2-2x+1 B.f(x)=x2-1
    C.f(x)=2x D.f(x)=2x+1
    解析:选A 由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象的对称轴为x=≠0,只有f(x)=x2-2x+1满足题意,而f(x)=x2-1,f(x)=2x,f(x)=2x+1都不满足题意,故选A.
    2.(2019·安徽名校联考)幂函数y=x|m-1|与y=x3m-m2(m∈Z)在(0,+∞)上都是增函数,则满足条件的整数m的值为(  )
    A.0 B.1和2
    C.2 D.0和3
    解析:选C 由题意可得解得m=2,故选C.
    3.(2019·浙江名校协作体考试)y=的值域为[0,+∞),则a的取值范围是(  )
    A.(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
    C.[-1,2] D.[0,2]
    解析:选D 当a=0时,y=,值域为[0,+∞),满足条件;当a≠0时,要使y=的值域为[0,+∞),只需解得0 4.(2019·河南天一大联考)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f(2),则a,b,c的大小关系为(  )
    A.a C.b 解析:选A 因为f(x)=(m-1)xn是幂函数,所以m-1=1,m=2,所以f(x)=xn.因为点(2,8)在函数f(x)=xn的图象上,所以8=2n⇒n=3.故f(x)=x3.a=f==<1,b=f(ln π)=(ln π)3>1,c=f=2=>a.故a,b,c的大小关系是a 5.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为(  )
    A. B.
    C. D.1
    解析:选D 当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈,所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1.所以m-n的最小值是1.
    6.(2019·湖北鄂东南联考)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(  )

    A.-1 C.-1 解析:选D 幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,∴0 7.若(a+1) <(3-2a),则实数a的取值范围是________.
    解析:易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,
    所以解得-1≤a<.
    答案:
    8.(2019·马鞍山月考)已知二次函数f(x)是偶函数,且f(4)=4f(2)=16,则函数f(x)的解析式为________.
    解析:由题意可设函数f(x)=ax2+c(a≠0),则f(4)=16a+c=16,4f(2)=4(4a+c)=16a+4c=16,所以a=1,c=0,故f(x)=x2.
    答案:f(x)=x2
    9.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围为________.
    解析:由已知可得,a>0,且判别式Δ=1-4ab=0,即ab=,∴b>0,∴a+4b≥2=2当且仅当a=1,b=时等号成立,即a+4b的取值范围为[2,+∞).
    答案:[2,+∞)
    10.(2019·山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)=________.
    解析:由已知有-3-m+m2-m=0,
    即m2-2m-3=0,
    ∴m=3或m=-1;
    当m=3时,函数f(x)=x-1,x∈[-6,6],
    而f(x)在x=0处无意义,故舍去.
    当m=-1时,函数f(x)=x3,此时x∈[-2,2],
    ∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.
    综上可得,f(m)=-1.
    答案:-1
    11.(2019·成都诊断)已知函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
    解:f(x)=2--a+3,令f(x)在[-2,2]上的最小值为g(a).
    (1)当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,
    ∴a≤.又a>4,∴a不存在.
    (2)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,
    g(a)=f=--a+3≥0,
    ∴-6≤a≤2.又-4≤a≤4,∴-4≤a≤2.
    (3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,∴a≥-7.
    又a<-4,∴-7≤a<-4.
    综上可知,a的取值范围为[-7,2].
    12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
    (1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;
    (2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
    解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,
    解得a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2,
    ∴F(x)=
    ∴F(2)+F(-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.
    (2)由题可知,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
    即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.
    又-x的最小值为0,--x的最大值为-2,
    ∴-2≤b≤0,故b的取值范围是[-2,0].
    [C级 难度题——适情自主选做]
    1.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)=-10sin2x-10sin x-,x∈的值域为,则实数m的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B 由题意得f(x)=-10+2,x∈,令t=sin x,则f(x)=g(t)=-10t+2+2,令g(t)=-,得t=-1或t=0,由g(t)的图象,可知当-≤t≤0时,f(x)的值域为,所以-≤m≤0.故选B.
    2.若a>b>1,0 A.ac C.alogbc 解析:选C ∵y=xα,α∈(0,1)在(0,+∞)上是增函数,
    ∴当a>b>1,0bc,选项A不正确.
    ∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数,
    ∴当a>b>1,0 ac-1bac,选项B不正确.
    ∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴alg a>blg b>0,
    ∴>.又∵0 ∴<,∴alogbc 同理可证logac>logbc,选项D不正确.
    3.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为(  )
    A.2 B.-1或-3
    C.2或-3 D.-1或2
    解析:选D 函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:
    ①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,
    ∴f(x)max=f(0)=1-a,
    由1-a=2,得a=-1.
    ②当0 ∴f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,
    由a2-a+1=2,解得a=或a=,
    ∵0 ③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,
    ∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.
    综上可知,a=-1或a=2.
    4.(2019·上海长宁区一模)已知函数f(x)=x2+2x+1,如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1,m]都成立的m的最大值是5,则实数k=________.
    解析:设g(x)=x2+(2-k)x+1,不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.
    则Δ=(2-k)2-4≥0,解得k≥4或k≤0.
    又因为函数f(x)=x2+2x+1,且f(x)≤kx对任意实数x∈(1,m]恒成立;
    所以(1,m]⊆[a,b],所以a≤1,b≥m,
    所以g(1)=4-k<0,解得k>4,
    m的最大值为b,所以有b=5.
    即x=5是方程g(x)=0的一个根,代入x=5,解得k=.
    答案:

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        高考数学一轮复习考点突破讲与练 第2章 第3节 二次函数与幂函数 (含解析)
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