高三数学一轮复习： 第7章 第6节 空间向量及其运算

这是一份高三数学一轮复习： 第7章 第6节 空间向量及其运算，共11页。
第六节　空间向量及其运算 [考纲传真]　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)(3)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)如图7­6­1所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)图7­6­1A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋cA　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]3．(2017·福州模拟)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断B　[由＋＋＝1知，A，B，C，P四点共面．]4．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A．(－1,1,0)　　　　　 B.(1，－1,0)C．(0，－1,1)  D.(－1,0,1)B　[各选项给出的向量的模都是，|a|＝.对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项D，设b＝(－1,0,1)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.]5．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．－13　[(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.]空间向量的线性运算　如图7­6­2所示，在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)＋. 【导学号：01772268】图7­6­2[解]　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.5分(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.7分因为N是BC的中点，则＝＋＝＋＝＋＝c＋a，10分所以＋＝＋＝a＋b＋c.12分[规律方法]　1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提．(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．[变式训练1]　如图7­6­3所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.图7­6­3　[连接ON，设＝a，＝b，＝c，则＝－＝(＋)－＝b＋c－a，＝＋＝＋＝a＋＝a＋b＋c.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，因此x＋y＋z＝＋＋＝.]共线向量与共面向量定理的应用　(1)(2017·佛山模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________. (2)如图7­6­4所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．①向量是否与向量，共面？②直线MN是否与平面ABB1A1平行？图7­6­4(1)－　[∵a∥b，且a与b反向，∴(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，k<0.∴解得或当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．当λ＝－3，μ＝时，a与b反向．因此λ＋μ＝－3＋＝－.](2)①因为＝k，＝k.所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面.6分②当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内；当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由①知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1.12分[规律方法]　1.判定空间三点共线，要结合已知向量从三点中提炼两个共点向量，利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点．2．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．[变式训练2]　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．[解]　(1)由已知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－).2分即＝＋＝－－，∴，，共面.5分(2)由(1)知，，共面且过同一点M.∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.12分空间向量数量积及其应用　如图7­6­5所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．图7­6­5[解]　(1)证明：设＝p，＝q，＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.3分∴⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.5分(2)设向量与的夹角为θ.∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，∴·＝(q＋r)·＝＝＝＝.8分又∵||＝||＝a，∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.12分[规律方法]　1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|＝.(3)cos〈a，b〉＝.[变式训练3]　如图7­6­6，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.图7­6­6(1)求AC1的长；(2)求AC与BD1夹角的余弦值．[解]　(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.2分||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.5分(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.8分∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.12分[思想与方法]1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．[易错与防范]1．在利用＝x＋y(*)证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内(因为(*)式只表示与，共面)．2．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．