高三数学一轮复习： 第6章 第4节 合情推理与演绎推理

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1．合情推理
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )
A．归纳推理 B.类比推理
C．演绎推理 D.以上都不是
B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]
3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B.an＝4n－3
C．an＝n2 D.an＝3n－1
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]
4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
A [“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]
5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
A [由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]
(1)(2016·武汉4月调研)数列eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,4)，eq \f(2,4)，eq \f(3,4)，…，eq \f(1,m＋1)，eq \f(2,m＋1)，…，eq \f(m,m＋1)，…的第20项是( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(5,7) D.eq \f(6,7)
(2)(2016·山东高考)观察下列等式：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,3)))－2＝eq \f(4,3)×1×2；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,5)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,5)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,5)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(4π,5)))－2＝eq \f(4,3)×2×3；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,7)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,7)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,7)))－2＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(6π,7)))－2＝eq \f(4,3)×3×4；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,9)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,9)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,9)))－2＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(8π,9)))－2＝eq \f(4,3)×4×5；
……
照此规律，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2n＋1)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,2n＋1)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,2n＋1)))－2＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2nπ,2n＋1)))－2＝________.
(1)C (2)eq \f(4,3)n(n＋1) [(1)数列eq \f(m,m＋1)在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝eq \f(mm＋1,2)项，当m＝5时，即eq \f(5,6)是数列中第15项，则第20项是eq \f(5,7)，故选C.
(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的eq \f(4,3)是个固定数，eq \f(4,3)后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，eq \f(4,3)后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为eq \f(4,3)×n×(n＋1)，即eq \f(4,3)n(n＋1)．]
[规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
2．归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；
(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
[变式训练1] (1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋eq \f(1,x)≥2，x＋eq \f(4,x2)＝eq \f(x,2)＋eq \f(x,2)＋eq \f(4,x2)≥3，x＋eq \f(27,x3)＝eq \f(x,3)＋eq \f(x,3)＋eq \f(x,3)＋eq \f(27,x3)≥4，…，类比得x＋eq \f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.
(2)下面图形由小正方形组成，请观察图6­4­1(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________.
【导学号：01772221】
图6­4­1
(1)nn(n∈N*) (2)eq \f(nn＋1,2)(n∈N*) [(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为eq \f(nn＋1,2)(n∈N*)．]
(1)(2016·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝eq \f(c1＋c2＋…＋cn,n) B.dn＝eq \f(c1·c2·…·cn,n)
C．dn＝eq \r(n,\f(c\\al(n,1)＋c\\al(n,2)＋…＋c\\al(n,n),n)) D.dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)
(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图6­4­2)，DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．
图6­4­2
(1)D (2)eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD) [(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn).
法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq \\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq \\al(n,1)·qeq \f(nn－1,2)，∴dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq \f(n－1,2)，即{dn}为等比数列，故选D.
(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD).]
[规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．
2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．
[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋beq \r(2)＝c＋deq \r(2)⇒a＝c，b＝d”；
③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B.2
C．3 D.4
B [类比结论正确的有①②.]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
【导学号：01772222】
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.2分
∴eq \f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq \f(Sn,n)，又eq \f(S1,1)＝1≠0，(小前提)
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分
(2)由(1)可知eq \f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq \f(Sn－1,n－1)(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq \f(Sn－1,n－1)＝4·eq \f(n－1＋2,n－1)·Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提)8分
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分
[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
[变式训练3] 如图6­4­3所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．
图6­4­3
[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥EA.(结论)5分
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)8分
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)
上面的证明可简略地写成：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(∠BFD＝∠A⇒DF∥EA, DE∥BA))⇒
四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.12分
[思想与方法]
1．合情推理的过程概括为
eq \x(从具体问题出发)→eq \x(观察、分析、比较、联想)→eq \x(归纳、类比)→eq \x(提出猜想)
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
[易错与防范]
1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
归纳推理
类比推理
演绎推理