高三数学一轮复习： 第8章 第6节 双曲线

第六节　双曲线

 [考纲传真]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，

其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)

A．2　　　　　　　　 B.

C.  D.1

D　[依题意，e＝＝＝2，

∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]

3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)

A．11  B.9

C．5  D.3

B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]

4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)　　　　　　 B.(－1，)

C．(0,3)  D.(0，)

A　[∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.

∴则

因此－1<n<3.]

5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝__________.

2　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知＝1.

又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，

所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]

　(2015·全国卷Ⅰ改编)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．则△APF周长的最小值为__________．

32　[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，

故F(3,0)，F1(－3,0)，

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2.所以|PF|＝|PF1|＋2，

从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

因为|AF|＝＝15为定值，

所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，A，F1，P三点共线．

又因为|AP|＋|PF1|≥|AF1|＝|AF|＝15.

所以△APF周长的最小值为15＋15＋2＝32.]

[规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．

[变式训练1]　已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)

A.  B.

C.  D.

A　[由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.

又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，

|F2A|＝2a，

∴cos∠AF2F1＝＝.]

　(1)(2017·广州模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)

【导学号：01772317】

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

(2)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

(1)C　(2)D　[(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.

又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.

∴双曲线C的标准方程为－＝1.

(2)由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立

解得或

即第一象限的交点为.

由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.

故双曲线的方程为－＝1.故选D.]

[规律方法]　1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．

2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．

[变式训练2]　(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________．

(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．

(1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，)，

∴λ＝16－4×()2＝4，

∴双曲线的标准方程为－y2＝1.

(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.

故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]

　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D.2

(2)(2017·石家庄调研)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________.

【导学号：01772318】

(1)A　(2)x±y＝0　[(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝.

在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得

tan∠MF2F1＝.

所以＝，即＝，即＝，

整理得c2－ac－a2＝0，

两边同除以a2得e2－e－1＝0.

解得e＝(负值舍去)．

(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.

因为A1B⊥A2C，

所以·＝－1，整理得a＝b.

因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.]

[规律方法]　1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．

2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．

[变式训练3]　(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.  B.2

C.  D.

D　[不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴M点的坐标为.

∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，

∴c＝a，e＝＝.故选D.]

 [思想与方法]

1．求双曲线标准方程的主要方法：

(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．

(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．

①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．

②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．

③与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．

2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．

[易错与防范]

1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.

2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．

3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．