2020高考数学一轮复习检测：第6章 第4节 合情推理与演绎推理(含解析)
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A级 基础夯实练
1.(2018·宁波模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
2.(2018·石家庄检测)若a，b，c∈R，下列使用类比推理得到的结论正确的是( )
A．“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”
解析：选C.对于A，“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”，不正确，如c＝0时，则a，b不一定相等，故A错误；
对于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”，而(a·b)c＝ac·b＝a·bc，故B错误；
对于C，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”，故C正确；
对于D，由“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”，当n＝2时，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故D错误．
3.(2018·江西新余月考)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类似上述过程，则 ＝( )
A．3 B．
C．6 D．2
解析：选A.由题意结合所给的例子类比推理可得，
＝x(x≥0)，
整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，
即 ＝3.故选A.
4.(2018·山师附中质检)等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )
A. B．q2
C. D．
解析：选C.由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.
∴＝b1q，∴等比数列{}的公比为，故选C.
5.(2018·成都模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )
A．2 018 B．2 019
C．2 020 D．2 021
解析：选D.根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，
这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.
由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然数，故选D.
6.(2018·潍坊模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕的运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )
A．11010 B．01100
C．10111 D．00011
解析：选C.对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中的运算规则知h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息是10110.
7.(2018·武汉武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
8.观察下列等式：ln 1＝0，
ln(2＋3＋4)＝2ln 3，
ln(3＋4＋5＋6＋7)＝2ln 5，
ln(4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝2ln 7，
…
则根据以上四个等式，猜想第n个等式为________．
解析：题中等式可改写为ln(3×1－2)＝2ln(2×1－1)，
ln[2＋3＋(3×2－2)]＝2ln(2×2－1)，
ln[3＋4＋5＋6＋(3×3－2)]＝2ln(2×3－1)，
ln[4＋5＋…＋(3×4－2)]＝2ln(2×4－1)，
故第n个式子为ln[n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)]＝2ln(2n－1)．
答案：ln[n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)]＝2ln(2n－1)
9.(2018·漳州八校联考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N(n，3)＝n2＋n，
正方形数N(n，4)＝n2，
五边形数N(n，5)＝n2－n，
六边形数N(n，6)＝2n2－n，
…
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．
解析：由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
所以N(10，24)＝×100＋×10＝1 100－100＝1 000.
答案：1 000
10.已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则＋＋＋＝1.
证明：在四面体OBCD与ABCD中，
＝＝＝.
同理有＝；＝；＝.
∴＋＋＋
＝＝＝1.
B级 能力提升练
11.(2018·济南模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为( )
解析：选A.由题意知，千位9为横式，百位1为纵式，十位1为横式，个位7为纵式，故选A.
12.(2018·温州质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第11行第2个数(从左往右数)为( )
…
A. B．
C. D．
解析：选B.由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为，第11行的第一个数为，则第11行的第二个数为－＝.
13.(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时期的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)
＝2＝πb2a.
答案：πb2a
14.已知函数f(x)＝－.
(1)证明函数y＝f(x)的图象关于点对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数的定义域为R.设点P(x，y)是y＝f(x)的图象上任意一点，
则点P(x，y)关于的对称点P′(1－x，－1－y)．
∵y＝－，则－1－y＝－1＋＝－.
又f(1－x)＝－＝－.
∴－1－y＝f(1－x)，即点P′(1－x，－1－y)在函数y＝f(x)的图象上，因此y＝f(x)的图象关于点对称．
(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1.
因此f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
15.(2018·广东七校联考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
C级 素养加强练
16.(2018·长春市高三第四次质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．
答案：8月4日
