高三数学一轮复习： 第6章 第6节 课时分层训练37

这是一份高三数学一轮复习： 第6章 第6节 课时分层训练37，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B.2
C．3 D.4
C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.]
2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]
3．在数列{an}中，a1＝eq \f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
【导学号：01772235】
A.eq \f(1,n－1n＋1) B.eq \f(1,2n2n＋1)
C.eq \f(1,2n－12n＋1) D.eq \f(1,2n＋12n＋2)
C [由a1＝eq \f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝eq \f(1,15)＝eq \f(1,3×5)，a3＝eq \f(1,35)＝eq \f(1,5×7)，a4＝eq \f(1,63)＝eq \f(1,7×9).猜想an＝eq \f(1,2n－12n＋1).]
4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为
( )
【导学号：01772236】
A．f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2
C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n－1)条．]
5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋7k＋1)配凑成( )
【导学号：01772237】
A．6＋21·7k B.3(2＋7k)＋21
C．3(2＋7k) D.21(2＋7k)－36
D [要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题亦真．
2k＋1 [n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．]
7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为__________．
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]
8．已知f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>eq \f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq \f(7,2)，则其一般结论为__________________．
f(2n)>eq \f(n＋2,2)(n≥2，n∈N*) [因为f(22)>eq \f(4,2)，f(23)>eq \f(5,2)，f(24)>eq \f(6,2)，f(25)>eq \f(7,2)，所以当n≥2时，有f(2n)>eq \f(n＋2,2).故填f(2n)>eq \f(n＋2,2)(n≥2，n∈N*)．]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋…＋eq \f(1,n2)