高三数学一轮复习： 第8章 第9节 课时分层训练53

这是一份高三数学一轮复习： 第8章 第9节 课时分层训练53，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层训练(五十三)　直线与圆锥曲线的位置关系A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1　　　　　　　　 B.2C．1或2  D.0A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝(　　)A.  B.C.  D.0B　[由得A(2,2)，B.又∵M(－1，m)且·＝0，∴2m2－2m＋1＝0，解得m＝.]3．(2017·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)A.  B.C.  D.A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)．由题设kOM＝＝.由得＝－.又＝－1，＝＝，所以＝.]4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝1  D.－＝1D　[由题意知点(2，)在渐近线y＝x上，所以＝，又因为抛物线的准线为x＝－，所以c＝，故a2＋b2＝7，所以a＝2，b＝.故双曲线的方程为－＝1.]5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1A　[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，所以E的方程为＋＝1.]二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．16　[直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.]7．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. 【导学号：01772344】　[双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，＝2，e＝＝＝＝.]8．已知椭圆＋＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为__________. 【导学号：01772345】2　[不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标． 【导学号：01772346】[解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得b＝，＝，3分解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为＋＝1.5分(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由8分得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0，整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.10分将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.12分10．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．[解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由条件可得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程＋x2＝1.5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.8分设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|＝＝2，10分令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.12分B组　能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)A.  B.C.  D.1C　[如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，即x0＝.设M(x′，y′)，由＝2，得化简可得∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．]2．(2017·青岛质检)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．2＋　[如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.]3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．图8­9­3(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. 【导学号：01772347】[解]　(1)由题设知解得3分∴椭圆的方程为＋＝1.5分(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝.由d<1得|m|<.(*)∴|CD|＝2＝2＝.8分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝＝.10分由＝得＝1，解得m＝±，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.12分