专题71 函数法求最值问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题71  函数法求最值问题

【规律总结】

【典例分析】

例1．（2020·江苏宿迁市·九年级二模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．

【详解】

解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，

则四边形CEHO是矩形，

∴ OH＝CE＝4，

∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，

∴ ∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，

∴ ∠ABH＝∠EAC，

∴ △AHB∽△CEA，

∴ ，即

∴ AE＝2BH，

设BH＝x，则AE＝2x，

∵A（2，4），

∴ OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，

∴ B（0，4﹣x），C（2+2x，0），

∵M为BC的中点，

∴ BM＝CM，

∴ M（1+x，），

∵ P（1，0），

∴ PM＝，

∴ 当时，PM有最小值为=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键．

例2．（2020·湖北武汉市·九年级期中）如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________．

【答案】

【分析】

根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×，再利用二次函数最值求出即可．

【详解】

解：∵AC与BD所成的锐角为60°，

∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，

设AC＝x，则BD＝10−x，

所以S＝x（10−x）×＝（x−5）2＋，

所以当x＝5，S有最大值．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．

例3．（2021·上海）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．

（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．

（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．

【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20

【分析】

（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；

（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．

【详解】

（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，

∵四边形DEFG为矩形，

∴GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴AK：AH＝GF：BC，

∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，

∴(8﹣y)：8＝y：10，

解得：y＝；

（2）设EF＝x，则KH＝x．

∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，

由（1）可知：，

解得：GF＝10﹣x，

∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，

∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·无锡市凤翔实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，点A（1，0）、B（5，0）．连接AC，以 AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是（  ）

A． B．3 C． D．

2．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学九年级其他模拟）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为(    )

A．cm B．1cm C．cm D．2cm

二、填空题

3．（2020·福建龙岩市·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________．

4．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学九年级一模）如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为__________．

三、解答题

5．（2020·重庆市南川中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中 ，.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方的抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由.

6．（2020·昆明市第一中学西山学校九年级期中）阅读下列材料：

我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式（、、是常数，且、不同时为0）.如图1，点到直线：的距离（）计算公式是：．

例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．

解答下列问题：

如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．

（1）请将直线化为“”的形式；

（2）求点到直线的距离；

（3）抛物线上是否存在点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．