专题51 三角形面积有关的最值问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题51  三角形面积有关的最值问题

【规律总结】

关键是确定动点到定直线的最小距离，有函数法、也有几何法；

【典例分析】

例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，为边长为的菱形的对角线，，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿向终点C和A运动，连接和，求面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题意易得，易证△ABM≌△BCN，则有，进而可得，然后可知点P的运动轨迹是一个圆弧，则当为等腰三角形时，的面积最大，进而问题可求解．

【详解】

解：由M，N点的速度相同可知，

∵四边形是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，

∴（SAS），

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵为定长，，

∴点P的运动轨迹为一个圆弧，在上运动，圆心Q的位置为AB、BP的垂直平分线的交点，点P在以Q为圆心QB为半径的圆上，由优弧AB的圆周角为120°可得劣弧AB所对的圆心角度数为120°，过点Q作QH⊥AB，交AB于点E，于点H，连接BQ，如图所示：

∴当点P与点H重合时，此时△ABP的面积为最大，

又∵，∠APB=120°，

∴，∠BQE=60°，

∴，

∴EH=1，

∴边上的高为1，

∴的面积最大值为；

故选D．

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键．

例2．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____．

【答案】．

【分析】

当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．

【详解】

解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵过P的直线是⊙D的切线，

∴DP垂直于切线，

延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝ =5

∴OA＝ ，

∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴ ，

即

∴DM=

∴PM=PD+DM=1+=

∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝ =

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．

例3．（2019·山西九年级期末）如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为4．

(1)求抛物线及直线的函数表达式．

(2)点是线段上的点(不与，重合)，过点作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长．

(3)在(2)的条件下，连接，，是否存在，使的面积最大．若存在，直接写出的值．若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，

【分析】

（1）直接运用待定系数法求解出抛物线的解析式，然后求出C的坐标，再运用待定系数法求解直线的解析式即可；

（2）结合（1）中求解出的解析式，分别表示出M，F的纵坐标，从而用M的纵坐标值减去F的纵坐标值即可；

（3）延续（2）的结论，可得到关于面积的二次函数表达式，从而运用函数的性质求解出面积最大时m的值即可．

【详解】

（1）把，代入，

得 

解得  

∴抛物线的表达式为． 

把代入得，

∴．

设直线的表达式为，

把，代入得：

解得 

∴直线的表达式为． 

（2）∵点在线段上，

∴点的坐标为．

∵点在抛物线上，

∴点的坐标为．

∴．

（3）存在，，理由如下：

∵，

其中，，

∴，

∵，

∴在时取得最大值，

∴存在，使的面积最大，此时．

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识，在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中首先求得C点坐标是解题的关键，在(3)中用m表示出△ACF的面积是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·台州市双语学校九年级月考）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（    ）

A．30 B．29 C．28 D．27

2．（2020·乌兰浩特市卫东中学九年级二模）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，为半径的圆上一点，连接，则面积的最小值是（　）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2020·福州立志中学九年级月考）如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，，则的面积最大值是______．

4．（2020·乐清市知临寄宿学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，是一次函数图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点是抛物线图像上的一点，则的面积最小值是______．

三、解答题

5．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）抛物线交x轴与点A和点B(-4，0)，交y轴于点C，点P为抛物线上一动点（P与B、C不重合）

（1）求抛物线的解析式．

（2）连结CB，若点P在直线BC下方时，求的面积的最大值．

（3）若点M为直线BC上一点，是否存在点M，使以点P、C、A、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期中）如图，点A在抛物线y＝﹣x2+6x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（2，2）．

（1）求线段AB的长；

（2）点P为线段AB上方抛物线上的任一点，过P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；

（3）在（2）中，当PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到，过点作的垂线与直线AB交于点Q，点R为y轴上一动点，M为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D，Q，R，M为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．