专题45 构造平行四边形问题-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题45  构造平行四边形问题

【规律总结】

平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用。

2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

(1)平行四边形对角相等；

(2)平行四边形对边相等；

(3)平行四边形对角线互相平分．

3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【典例分析】

例1．（2019·上海同济大学实验学校八年级月考）如图，中，点是的中点，，，则长（    ）．

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】

求BE的长，可转化为，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD，使，连接BG，CG，判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H，使，判断四边形BECI为平行四边形，求证即可求解．

【详解】

延长AD，使，连接BG，CG，

∵，，

∴四边形ABGC为平行四边形，

∴，

在DG上取一点H，使，连接并延长交于，

∵，

∴四边形BECI为平行四边形，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答本题的关键．

例2．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】8

【分析】

连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．

【详解】

连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴DE∥CF，EF∥CD，

∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，

∴四边形ACFM是平行四边形，

∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，

∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，

同理△ADE的面积和△AME的面积相等，

即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，

∵△ABC的面积是24，BC＝3CF

∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，

∴CF×hCF＝16，

∴阴影部分的面积是×16＝8，

故答案为：8．

【点睛】

此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键．

例3．（2020·四川成都市·双流中学九年级期中）如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．

（1）若 ，求的大小．

（2）求证：．

（3）若正方形的边长为1，，求的长．

【答案】（1）25°；（2）证明见详解；（3）

【分析】

（1）由正方形性质得到∠DBP的度数，利用外角性质得到∠GEB的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可得到∠GBE的度数；

（2）连接CE，证△ECF与△EPC，可得EC的平方与EF和EP的关系，再根据正方形性质得到EA=EC，即可得到结论；

（3）利用三角函数值求出DM的长，再利用△ABG和△ABP相似求出AG长，证明四边形ACPD是平行四边形可得∠DPA与∠GAH相等，则它们的三角函数值相等，通过∠GAH的正切值即可得到HG的长；

【详解】

（1）∵四边形是正方形，是正方形的对角线，

∴，

∵中，

∴，

∵，

∴；

（2）如图所示，连接，

∵四边形是正方形，

∴关于对称，即，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）∵正方形的边长为1，

∴，又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

连接，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，过点作于，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即的长为．

【点睛】

本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定、三角函数值、平行四边形的性质和判定等知识点，正确添加辅助线，确定相似三角形是解题的关键．

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·宁夏中考真题）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（    ）

A．13 B．10 C．12 D．5

2．（2020·眉山市东坡区东坡中学八年级期中）在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为(   )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（ ）

A．2 B．3 C．6 D．2或6

二、填空题

3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在梯形中， ，对角线，且，则梯形的中位线的长为_________.

三、解答题

4．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）如图1，在▱ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，动点E在边上，，动点F在射线BD上，BF＝5x．

（1）若点P是BC边上一点，在点E，F运动过程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

（2）如图2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G．过点E作交DG的于点H连接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，当D'F与△DBG的一边平行时，HG的长　   　．（直接写出答案）

5．（2020·哈尔滨市第十七中学校八年级月考）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．

（1）求证：

（2）如图2，在延长线上，且，求证：

（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．

6．（2020·江西九年级一模）如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，

（1）求反比例函数和直线AC的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．