考点30 正方形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点30 正方形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共31页。
第一步 小题夯基础


考点30 正方形
真题回顾



1.（2020·滨州）下列命题是假命题的是（    ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．     B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形．                                 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
2.（2018·来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（   ）
A. 8                                       B. 4                                        C. 8                                        D. 16
3.（2017·黔东南）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（   ）

A. 60°                                      B. 67.5°                                      C. 75°                                      D. 54°
4.（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （   ）

A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 
5.（2018·连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（    ）

A. 1                                  B.                                   C. 4﹣2                                   D. 3 ﹣4
6.（2019·广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（  ）

A.                                    B. 2                                    C.  +1                                   D. 2 +1
7.（2018·常州）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1 ， 作P1关于点B的对称点P2 ， 作点P2关于点C的对称点P3 ， 作P3关于点D的对称点P4 ， 作点P4关于点A的对称点P5 ， 作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（   ）

A. （0，2）                        B. （2，0）                        C. （0，﹣2）                        D. （﹣2，0）
8.（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF ， 其中正确的是（   ）
A. ①③                                     B. ②③                                     C. ①④                                     D. ②④

9.（2017·碑林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（   ）

A.                                  B. 4﹣2                                  C.                                  D.  ﹣2
10.（2019·德州）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②                                  B. ①③                                  C. ①②③                                  D. ②③④
11.（2014·宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是________．

12.（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为________.

13.（2016·天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则 的值等于________．

14.（2016·襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________

10.（2019·湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1 ， 按上述方法所作的正方形的边长依次为a2 ， a3 ， a4 ， …，an ， 则an=________．

模拟预测


1.（2017·东莞模拟）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（   ）
A. ﹣4+4                             B. 4 +4                            C. 8﹣4                             D.  +1
2.（2017·应城模拟）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF= ，则小正方形的周长为（   ）

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
3.（2020·上海模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP2=PH·PC其中正确的有(    )

A. ①②③④                                 B. ②③                                 C. ①②④                                 D. ①③
4.（2019·上海模拟）如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是________．

5.（2018·万全模拟）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为________

6.（2020·沈阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为________.

7.（2018·道外模拟）在正方形ABCD中，点E在直线AB上，EF⊥AC于点F，连接EC，EC=5，△EFC的周长为12，则AE的长为________．

8.（2020·平阳模拟）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF。若点E，A，G在同一直线上，EG=8 ，BC=7，则△ABC的面积为________。

9.（2020·新乡模拟）如图，在正方形ABCD中， ，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作 于点G，连接DG，则线段DG的最小值为________.

10.（2019·聊城模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2 ， 再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3 ， 以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．


第一步 小题夯基础


考点30 正方形
真题回顾



1.（2020·滨州）下列命题是假命题的是（    ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．     B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形．                                 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【答案】 D
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
2.（2018·来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（   ）
A. 8                                       B. 4                                        C. 8                                        D. 16
【答案】 A
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积= ×4×4=8．
故选：A．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
3.（2017·黔东南）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（   ）

A. 60°                                      B. 67.5°                                      C. 75°                                      D. 54°
【答案】 A
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF、BF．

∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB= ∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB= ∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
4.（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （   ）

A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 
【答案】 B
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴= S正方形ABCD= ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的轴对称性得出四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，从而得出答案。
5.（2018·连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（    ）

A. 1                                  B.                                   C. 4﹣2                                   D. 3 ﹣4
【答案】 C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4 ，
∴BE=BD﹣DE=4 ﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF= BE ×（4 ﹣4）=4﹣2 ．
故选：C．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解．
6.（2019·广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（  ）

A.                                    B. 2                                    C.  +1                                   D. 2 +1
【答案】 B
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= =1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE= BC= ，CF= CD= ，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= CE= ，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× =2 ；
故选：B．
【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= =1，∠BCD=90°，CE=CF= ，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
7.（2018·常州）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1 ， 作P1关于点B的对称点P2 ， 作点P2关于点C的对称点P3 ， 作P3关于点D的对称点P4 ， 作点P4关于点A的对称点P5 ， 作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（   ）

A. （0，2）                        B. （2，0）                        C. （0，﹣2）                        D. （﹣2，0）
【答案】 D
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵作点P关于点A的对称点P1 ， 作P1关于点B的对称点P2 ， 作点P2关于点C的对称点P3 ， 作P3关于点D的对称点P4 ， 作点P4关于点A的对称点P5 ， 作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，
∴每变换4次一循环，
∴点P2011的坐标为：2011÷4=502…3，
点P2011的坐标与P3坐标相同，
∴点P2011的坐标为：（﹣2，0），
故选：D．

【分析】根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点P2011的坐标与P3坐标相同，即可得出答案．
8.（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF ， 其中正确的是（   ）

A. ①③                                     B. ②③                                     C. ①④                                     D. ②④
【答案】 C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF ， 故①正确，
∵BE=EC= BC= AD，AD∥EC，
∴ = = = ，
∴S△CDF=2S△CEF ， S△ADF=4S△CEF ， S△ADF=2S△CDF ，
故②③错误④正确，
故选C．

【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF ， 故①正确，由BE=EC= BC= AD，AD∥EC，推出 = = = ，可得S△CDF=2S△CEF ， S△ADF=4S△CEF ， S△ADF=2S△CDF ， 故②③错误④正确，由此即可判断．
9.（2017·碑林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（   ）

A.                                  B. 4﹣2                                  C.                                  D.  ﹣2
【答案】 B
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】如图，过E作EF⊥AD于F，则△AEH是等腰直角三角形，

∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× =2 ，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2 ，
∴x2+x2=（2 ﹣x）2 ，
解得x=4﹣2 （负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ．
故答案为：B．
【分析】先过E作EH⊥AD于H，设OE=x，依据角平分线的性质可得到EH=AH=x，然后依据特殊锐角三角函数值可得到AE=2-x，接下来，在Rt△AHE中，依据列方程求解即可.
10.（2019·德州）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②                                  B. ①③                                  C. ①②③                                  D. ②③④
【答案】 C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】
∵四边形 是正方形，
， ，
∵ ，
，
，
在 与 中，
，
，
；故①符合题意；
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
∵ ，
，
；故②符合题意；
作 于 ，设 ， ，则 ， ，

由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
，
∵ ，
，
，
∵ ， ，
，
∵ ，
；故③符合题意，
设 的面积为 ，
∵ ，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的性质可得AN=；根据三线合一的性质和余角关系得∠ADF=∠GMF；分别求出△ANF与四边形CNFB的面积，即可判断面积之比。
11.（2014·宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是________．

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴AE= = ，
故答案为： ．

【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
12.（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为________.

【答案】 3
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
13.（2016·天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则 的值等于________．

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
∴MN= BD= AB，
∴ = = ，
故答案为： ．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
14.（2016·襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中

∴△AFO≌△BEO（ASA）
∴FO=EO
∵正方形ABCD的边长为2 ，E是OC的中点
∴FO=EO=1=BF，BO=2
∴直角三角形BOE中，BE= =
由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO
∴ ，即 ∴FM= 故答案为：
【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
10.（2019·湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1 ， 按上述方法所作的正方形的边长依次为a2 ， a3 ， a4 ， …，an ， 则an=________．

【答案】 （ ）n﹣1
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2 ，
∴a2= a1= ，
同理a3= a2=2，
a4= a3=2 ，
…
由此可知：an=（ ）n﹣1 ，
故答案为：（ ）n﹣1 ．
【分析】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4 ． 由求出的a2= a1 ， a3= a2…，an= an﹣1=（ ）n﹣1 ， 可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
模拟预测


1.（2017·东莞模拟）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（   ）
A. ﹣4+4                             B. 4 +4                            C. 8﹣4                             D.  +1
【答案】A
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，
则S△ACD= AD•CD= ×2×2=2；
AC= AD=2 ，
则EC=2 ﹣2，
∵△MEC是等腰直角三角形，
∴S△MEC= ME•EC= （2 ﹣2）2=6﹣4 ，
∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4 ）=4 ﹣4．
故选：A．
【分析】阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC ， △ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
2.（2017·应城模拟）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF= ，则小正方形的周长为（   ）

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
【答案】C
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24， ∴BC=CD=2 ，∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴ = ，
∵BF= ，CF= ，DF= = ，
∴ = ，
∴EF= ，
∴正方形EFGH的周长为 ．
故选C．

【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得 = 求出EF即可解决问题．
3.（2020·上海模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP2=PH·PC其中正确的有(    )

A. ①②③④                                 B. ②③                                 C. ①②④                                 D. ①③
【答案】 C
【考点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，
∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°
∵△BPC是等边三角形 ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴DC=PC ，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°
∴BE=2AE，故①正确；
∵AD∥BC  ∴∠PFD=∠BCF=60°  ∴∠PFD=∠BPC
同①得：∠DCF=30°   ∴∠CPD=∠CDP=75°  ∴∠PDF=15°
又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，
∴∠PDF=∠PBD
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°
∠BPD=135°,∠DPF=105°
∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC
∴△DPH∽△CDP
∴
∴PD2=PH·CD，故④正确。
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=30°，利用直角三角形中30°的角的性质可得BE=2AE，故①正确；
同①得∠DCF=30° ，由三角形的内角和和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75° ，进而得∠PDF=15°，∠PBD=∠ABD-∠ABE=15°，则可得∠PDF=∠PBD，又∠PDF=∠PBD=60°，从而可证△DFP∽△BPH，故②正确；
通过计算可知 △PFD和△PDB 中，∠PDF=∠PBD，∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF，可判断△PFD与△PDB不相似，故③错误；
利用∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC可证得△DPH∽△CDP，利用相似三角形的性质可得 ， 变形为PD2=PH·CD，故④正确。
4.（2019·上海模拟）如图，把边长为单位1的正方形一边与数轴重叠放置，以O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A对应的数是________．

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】由勾股定理得，正方形对角线OB= ，
则A点表示的数等于 ，
故答案为： ．
【分析】先求出正方形对角线OB的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数．
5.（2018·万全模拟）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为________

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】设正方形边长为a，
∵S△ABE=18，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，
∴a2=36，
∵a＞0，
∴a=6，
在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，
∴BE= = = ．
故答案为： ．
【分析】设正方形边长为a，由正方形的性质可得S正方形ABCD=2S△ABE=36，则a2=36，解得a=6，因为a＞0，所以a=6，在RT△BCE中，由勾股定理可得BE= =.
6.（2020·沈阳模拟）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为________.

【答案】 8平方厘米.
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：依题意有S＝ ×4×4＝8平方厘米，所以阴影部分的面积为8平方厘米.
故答案是：8平方厘米.
【分析】正方形的对角线所在的直线是它的一条对称轴，根据正方形的对称性可知，左边梯形面积和右边梯形面积相等，所以图中阴影部分的面积正好为正方形面积的一半.
7.（2018·道外模拟）在正方形ABCD中，点E在直线AB上，EF⊥AC于点F，连接EC，EC=5，△EFC的周长为12，则AE的长为________．

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=45°．∵EF⊥AC，∴AF=EF．设AF=x，则EF=x，FC=12-5-x=7-x．在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2 ， ∴x2+(7-x)2=52 ， 整理得：x2-7x+12=0，解得：x=3或x=4，∴AE= AF= x= 或 ．
故答案为： 或 ．【分析】本题说点E在直线AB上，因为EF⊥AC，所以△AEF为等腰直角三角形，所以AF=EF，因为EC=5，△EFC的周长为12 ，设AF=x，则FC=7-x，由勾股定理可知，得x=3或4，即AE=或.
8.（2020·平阳模拟）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF。若点E，A，G在同一直线上，EG=8 ，BC=7，则△ABC的面积为________。

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H,

∵正方形ABED，正方形ACGF，
∴AM=EM=BM，AH=HG=CH       
设BM=x，CH=y
∴2x+2y=
∴
∴
在Rt△ABC中，
AB2+CA2=BC2
∴2x2+2y2=49
∴
∴
解之：xy=
∴S△ABC=

故答案为：
【分析】过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，利用正方形的性质，可证得AM=EM=BM，AH=HG=CH，设BM=x，CH=y，求出x+y的值，利用勾股定理用含x，y的代数式分别表示出AB，CA，再利用勾股定理求出2x2+2y2=49，由此可求出xy的值，然后利用三角形的面积公式可求解。
9.（2020·新乡模拟）如图，在正方形ABCD中， ，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作 于点G，连接DG，则线段DG的最小值为________.

【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于O，

过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，
过点O，
，
，
点G在以AO为直径的半圆弧上，则
设AO的中点为M，
连接DM交半圆弧于G，
则此时，DG最小，
四边形ABCD是正方形， ，
， ，
，
，
，
∴
故答案为： .
【分析】连接AC，BD交于O，得到EF过点O，推出点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，根据正方形的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得到结论.
10.（2019·聊城模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2 ， 再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3 ， 以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．

【答案】 （21008 ， 0）
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1= ，

∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，
∴OB2=2，
∴B2点坐标为（0，2），
同理可知OB3=2 ，
∴B3点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），
B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），
B7（8，﹣8），B8（16，0）
B9（16，16），B10（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍，
∵2016÷8=252
∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，
∴B2016的坐标为（21008 ， 0）．
故答案为：（21008 ， 0）．
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标．本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍．