2021年江苏省南通市启东市中考数学质量监测试卷

这是一份2021年江苏省南通市启东市中考数学质量监测试卷，共28页。试卷主要包含了解答题解答时应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．|﹣2|
2．（3分）2020年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止2020年底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为8096万人，用科学记数法表示为（ ）
A．8.096×107B．8.096×108C．0.8096×108D．80.96×106
3．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）
A．136°B．102°C．122°D．112°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．﹣＝6
5．（3分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，点B在x轴上，点A坐标为（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转15°，此时点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，）
6．（3分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．126，126B．126，130C．130，134D．118，134
7．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BDB．AC＝BDC．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°
8．（3分）如图是某几何体的三种视图，其表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5B．7.8C．9D．9.6
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分不需写出解答过程，把最后结果填在对应的位置上
11．（3分）已知xy＝，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ．
12．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ cm．
13．（4分）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为 ．
14．（4分）如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
15．（4分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
16．（4分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米．
17．（4分）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
18．（4分）如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（11分）计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．
（1）求直线l2：y＝kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．
22．（10分）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
23．（10分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是： ；
（2）求证：AE＝2GF；
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝，求CE的长．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．
（1）此抛物线的对称轴 ，点A的坐标为 （用含a的式子表示）；
（2）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．（13分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并进行证明；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝7，则AB的最小值为 ．
2021年江苏省南通市启东市中考数学质量监测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．（3分）比1小2的数是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．|﹣2|
【分析】根据题意列出算式，再根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，
所以比1小2的数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）2020年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止2020年底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为8096万人，用科学记数法表示为（ ）
A．8.096×107B．8.096×108C．0.8096×108D．80.96×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8096万用科学记数法表示为：8.096×107．
故选：A．
3．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）
A．136°B．102°C．122°D．112°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，可以得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF的度数．
【解答】解：由折叠的性质可得，
∠2＝∠3，
∵∠1＝44°，
∴∠2＝∠3＝68°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠3＝180°，
∴∠AEF＝112°，
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．﹣＝6
【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝5﹣＝4，所以D选项错误．
故选：C．
5．（3分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，点B在x轴上，点A坐标为（2，2），将△AOB绕点O逆时针旋转15°，此时点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，）
【分析】如图，过点A′作A′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，A′H即可．
【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥y轴于H．
∵A（2，2），
∴OA＝OA，
∵∠AOH＝45°，∠AOA′＝15°，
∴∠A′OH＝30°，
∴A′H＝A′O＝，OH＝A′H＝，
∴A′（，），
故选：A．
6．（3分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．126，126B．126，130C．130，134D．118，134
【分析】先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157，
所以这组数据的众数为126，中位数为＝130，
故选：B．
7．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BDB．AC＝BDC．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法即可作出判断．
【解答】解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图是某几何体的三种视图，其表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体底面半径为1，高为的圆锥，圆锥的母线长为＝2．
所以所求几何体的表面积为：S侧+S底＝π•1•2+π•12＝3π，
故选：B．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5B．7.8C．9D．9.6
【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了4s，可得AB＝8cm，此时BM＝EF＝6cm，根据勾股定理可得AM＝10cm；当t＝6时，EF＝6，可得DN＝6cm，根据相似三角形的性质可得CN＝3.6cm，进而得出a的值．
【解答】解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点E，作DN∥BM，交BC于点N，
由题意可知，AB＝4×2＝8（cm），BM＝6cm，DN＝6cm，
∴AM＝（cm），
∵BC∥AD，∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°，
又∵DN∥BM，
∴∠CND＝∠ADN＝∠AMB，
∴△CDN∽△BAM，
∴（cm），
∴a＝6+3.6÷2＝7.8．
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜3
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分不需写出解答过程，把最后结果填在对应的位置上
11．（3分）已知xy＝，x﹣y＝﹣3，则x2y﹣xy2＝ ﹣ ．
【分析】提公因式法分解因式后，再整体代入求值即可．
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝×（﹣3）＝﹣，
故答案为：﹣．
12．（3分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝ 2 cm．
【分析】连接OA，如图，先计算出OC＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵CE＝3，DE＝7，
∴CD＝10，
∴OC＝OA＝5，OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴AB＝2AE＝2（cm）．
故答案为2．
13．（4分）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围为 ﹣＜m≤3 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得﹣＜m≤3．
故答案为﹣＜m≤3．
14．（4分）如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得∠EDC＝∠ECD，从而EC＝DE；再DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得DE的长，即为EC的长．
【解答】解：∵DC为∠ACB的平分线
∴∠BCD＝∠ECD
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠BCD
∴∠EDC＝∠ECD
∴EC＝DE
∵AD＝8，BD＝10
∴AB＝18
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴＝
∵AD＝8，AB＝18，BC＝15
∴＝
∴DE＝
∴EC＝
故答案为：．
15．（4分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
16．（4分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 210 米．
【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，
∵sinα＝，
∴AE＝AB×sin20°≈68，
在Rt△BCG中，
∵sinβ＝，
∴BG＝BC×sin45°≈142，
∴他下降的高度为：AE+BG＝210，
故答案为：210
17．（4分）若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 2029 ．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2021，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029．
故答案为：2029．
18．（4分）如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是 6 ．
【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，即可求得k＝6．
【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD＝，
∵S△ABD＝BD•AE＝2，
∴AE＝2，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝2，
∴D的纵坐标为3，
设A（m，），则D（m﹣2，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k＝m＝（m﹣2）×3，
解得：m＝3，
∴k＝m＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（11分）计算：
（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2；
（2）．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（2x﹣3）（2x+3）﹣（2x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1
＝4x﹣10；
（2）
＝
＝
＝
＝x﹣2．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．
（1）求直线l2：y＝kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可求A点坐标，再根据AO＝2BO，可求B点坐标，根据待定系数法可求直线l2的解析式；
（2）利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝0+6＝6，
∴A（0，6），
∵AO＝2BO，
∴B（0，﹣3），
∵C（﹣3，3），
代入直线l2：y＝kx+b中得，
解得．
故直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）S△ABC＝AB•|xC|＝×（6+3）×3＝．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．
【分析】（1）连接BE，若要证明AC＝CF，则只要证明∠CAE＝∠EFB＝∠AFC即可；
（2）易证得BF＝2，根据cs∠ABC＝＝＝，可求出BD的长，进而得到AD和DF的长，然后根据tan∠BAE＝tan∠DAE求得即可．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵CA是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵E是弧BD的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠DBE，
∴∠CAE＝∠EFB＝∠AFC，
∴AC＝CF；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝5．
∵AC＝CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝2．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵cs∠ABC＝＝＝，
∴BD＝，
∴AD＝＝，DF＝BD﹣BF＝．
∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝．
22．（10分）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
（1）b＝ 9 ，c＝ 9 ；
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．
【分析】（1）利用中位数和众数的概念很容易求出b．c的值；
（2）利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
（3）通过比较以上四个数量指标，在平均数，中位数，众数相同的情况下，选择方差较小的参加．
【解答】解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，
位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b＝9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c＝9．
故答案为：9；9．
（2）乙的平均数a＝＝8．
∵方差的公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，
∴d＝[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6．
（3）选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
23．（10分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是： GF⊥AE ；
（2）求证：AE＝2GF；
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝，求CE的长．
【分析】（1）由折叠的性质容易得出结论；
（2）过G作GM⊥AB于M，证△ABE∽△GMF，得＝＝＝＝2，即可得出结论；
（3）过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，由折叠的性质得AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，再证出∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，则sin∠BFE＝＝，设BE＝3x，则AF＝EF＝5x，BF＝4x，AB＝AF+BF＝9x，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：由折叠的性质得：∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴GF⊥AE，
故答案为：GF⊥AE；
（2）证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示：
则∠FMG＝90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，
由（1）得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝＝＝＝2，
∴AE＝2GF；
（3）解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示：
由折叠的性质得：AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠CGP+∠GHP＝90°，
∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC，
∴∠PEC＝∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°，
∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，
∵sin∠CGP＝，
∴sin∠BFE＝＝，
设BE＝3x，则AF＝EF＝5x，
∴BF＝＝＝4x，
∴AB＝AF+BF＝9x，
∵AE＝2GF，GF＝，
∴AE＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即（9x）2+（3x）2＝（2）2，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴AB＝9x＝6，BE＝3x＝2，
∵AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣2＝1．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．
（1）此抛物线的对称轴 直线x＝ ，点A的坐标为 （0，a+1） （用含a的式子表示）；
（2）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，利用y轴上点的坐标特征求解即可．
（2）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），可得yc＝11a+1，分a＞0，a＜0两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝．
∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，
令x＝0，得到y＝a+1，
∴A（0，a+1）．
故答案为直线x＝，（0，a+1）．
（2）对于任意实数a，都有a+1＞a，
可知点A在点N的上方，
令抛物线上的点C（﹣2，y），
∴yc＝11a+1，
①如图1中，
当a＞0时，yc＞﹣a﹣2，
∴点C在点M的上方，
结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．
②当a＜0时，
（a）如图2中，
当抛物线经过点M时，yc＝﹣a﹣2，
∴a＝﹣，
结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．
（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．
（c）如图3中，当a＜﹣时，yc＜﹣a﹣2，
∴点C在点M的下方，
结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，
综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．
26．（13分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并进行证明；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝7，则AB的最小值为 ．
【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．结合∠ABD+∠ADB＝90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即可得∠BHD＝90°．从而得证；
（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB＝CD，从而得∠HBC+∠HCB＝90°，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．由∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°可得答案；
（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，可得答案．
【解答】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，
即∠EBD+∠BDG＝90°，
∴∠BHD＝90°．
∴BE⊥DG．
又∵BE＝DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”．
（2）△EFG是等腰直角三角形．
理由：如图②，延长BA，CD交于点H，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，
∴AB⊥CD，AB＝CD，
∴∠HBC+∠HCB＝90°
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴，，EG∥AB，GF∥DC，
∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB
＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．
∴△EFG是等腰直角三角形．
（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，
则EF≥HF﹣HE＝＝，
由（2）可知．
∴AB的最小值为．
故答案为．
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4