2021年江苏省连云港市中考数学质量监测试卷

这是一份2021年江苏省连云港市中考数学质量监测试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
3．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×106B．3×107C．3×106D．30×105
4．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．33°B．34°C．56°D．28°
7．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D′D″的长度是；③∠A′AF＝7.5°；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①②④B．①③C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
9．（3分）计算：a2•a3＝ ．
10．（3分）因式分解：x2﹣4＝ ．
11．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
12．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则这个圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒．
15．（3分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．若L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，AB＝5，BC＝6，⊙A的半径为2，点P是BC边上的动点，过点P作⊙A的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）解分式方程：+2＝．
20．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计．请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ ．
（3）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
21．（8分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序．
（1）甲第一个出场的概率为 ．
（2）出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
23．（10分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设如图所示的信号发射塔．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是31°，向前走90米到达B点测得P点的仰角是40°，测得发射塔底部Q点的仰角是27°，请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin31°≈0.52，tan31°≈0.60，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84．）
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（1，m），与x轴交于A，与y轴交于C，且AC＝3BC．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）P是y轴上一动点，当|PA﹣PB|的值最大时，请直接写出此时点P的坐标．
25．（12分）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，每吨运费如下：（单位：元/吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地x吨，两厂运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
26．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，动点P在直线AB上方的抛物线上移动．现将△ADP绕点A顺时针旋转45°得到△AD′P′，若直线AP′的延长线交x轴于点E（1，0），求出此时点P的坐标．
27．（14分）【问题情境】如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：S△BCE＝S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究：
【探究应用1】如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若BD＝6，AD＝x，AM＝y，试求y与x之间的函数关系式；
【探究应用2】如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC；
【迁移拓展】如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝8：5，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝3：2，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，求DG：DH的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
【解答】解：依题意得
x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：D．
3．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×106B．3×107C．3×106D．30×105
【解答】解：3000000＝3×106，
故选：C．
4．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
5．（3分）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．33°B．34°C．56°D．28°
【解答】解：如图，连接OA，
∵∠ACB＝28°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝56°．
又∵AB为⊙O的切线，OA是半径，
∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°．
∴∠B＝90°﹣∠AOB＝34°．
故选：B．
7．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D′D″的长度是；③∠A′AF＝7.5°；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①②④B．①③C．②③④D．①②③④
【解答】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，
∴四边形ADED'是矩形，
又∵AD＝AD'＝，
∴四边形ADED'是正方形，
∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，
∴D'B＝AB﹣AD'＝2，
∵点F是BD'中点，
∴D'F＝1，
∴EF＝＝＝2，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，
∴A'F＝﹣2，故①正确；
∵tan∠FED'＝＝＝，
∴∠FED'＝30°
∴α＝30°+45°＝75°，
∴弧D'D″的长度＝＝π，故②正确；
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，
∴∠A'AF＝7.5°，故③正确；
∵D'E＝D''E，EG＝EG，
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），
∴∠D'GE＝∠D''GE，
∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，
∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，
又∵∠AFA'＝∠EFG，
∴△AFA'∽△EFG，故④正确，
所以所有正确的序号为：①②③④．
故选：D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
9．（3分）计算：a2•a3＝ a5 ．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．
故答案为：a5．
10．（3分）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
11．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
12．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k ＜ 0（填“＞”或“＜”）
【解答】解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为﹣1，
根据﹣1＜1，3＞﹣1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则这个圆锥的侧面积是 15π ．
【解答】解：由勾股定理得：母线l＝＝＝5，
∴S侧＝•2πr•l＝πrl＝π×3×5＝15π．
故答案为：15π．
14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒．
【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，
＝﹣3（t﹣）2+，
∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：．
15．（3分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．若L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝ 6 ．
【解答】解：∵L过点T3（﹣12，3），
∴k＝﹣12×3＝﹣36，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
当x＝﹣6时，y＝6，
∴T6在反比例函数图象上，
∴m＝6，
故答案为：6；
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，AB＝5，BC＝6，⊙A的半径为2，点P是BC边上的动点，过点P作⊙A的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 ．
【解答】解：连接AQ、AP，过A点作AH⊥BC于H，如图，
设AH＝x，CH＝y，则BH＝6﹣y，
在Rt△ACH中，x2+y2＝42，①
在Rt△ABH中，（6﹣x）2+y2＝52，②
①﹣②得﹣36+12x＝﹣9，解得x＝，
把x＝代入①得（）2+y2＝42，解得y1＝，y2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵PQ为⊙A的切线，
∴AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴PQ＝＝，
当PA最小时，PQ最小，
而PA的最小值为，
∴PQ的最小值为＝．
故答案为．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝3+2﹣1
＝4．
18．（6分）解不等式组：．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为1≤x＜3．
19．（6分）解分式方程：+2＝．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
20．（8分）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计．请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m＝ 20% ．
（3）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）m＝10÷50×100%＝20%，
故答案为：20%；
（3）1200×＝672（名），
答：全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数约为672名．
21．（8分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序．
（1）甲第一个出场的概率为 ．
（2）出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）甲第一个出场的概率为，
故答案为：；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
23．（10分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设如图所示的信号发射塔．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是31°，向前走90米到达B点测得P点的仰角是40°，测得发射塔底部Q点的仰角是27°，请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin31°≈0.52，tan31°≈0.60，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84．）
【解答】解：延长PQ交AB的延长线于C，如图所示：
则∠PCA＝90°，
设PC为x米，
在Rt△APC中，∠PAC＝31°，
∵tan∠PAC＝＝tan31°≈0.60，
∴AC≈x（米），
∵∠PBC＝40°，tan∠PBC＝＝tan40°≈0.84，
∴BC≈x（米），
∵AB＝AC﹣BC＝90米，
∴x﹣x＝90，
解得：x＝189，
则PC＝189米，BC≈x＝225（米），
在Rt△BCQ中，∠QBC＝27°，
∵tan∠QBC＝＝tan27°≈0.51，
∴QC≈0.51×225＝114.75（米），
∴PQ＝PC﹣QC＝189﹣114.75＝74（米）．
即信号发射塔PQ的高度约为74米．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（1，m），与x轴交于A，与y轴交于C，且AC＝3BC．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）P是y轴上一动点，当|PA﹣PB|的值最大时，请直接写出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥y轴于点D，
则BD∥x轴，
∴△BCD∽△ACO，
∴，即＝，
解得，OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
把A（﹣3，0）代入y＝x+b，得b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
∵点B的横坐标为1，
∴m＝1+3＝4，即点B的坐标为（1，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（1，4），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′并延长交y轴于点P，
此时|PA﹣PB|的值最大，
∵点B′与点B关于y轴对称，B（1，4），
∴点B′的坐标为（﹣1，4），
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，，
∴直线AB′的解析式为y＝2x+6，
∴点P的坐标为（0，6），即OP＝6，
由勾股定理得，AP＝＝3，PB′＝＝，
∴AB′＝2，
∴|PA﹣PB|的最大值为2，此时点P的坐标为（0，6）．
25．（12分）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，每吨运费如下：（单位：元/吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地x吨，两厂运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，
由题意得：，
解得：，
∴这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨，
答：甲生产了这批防疫物资200吨，乙厂生产了这批防疫物资300吨．
（2）由题意甲运往A地x吨，甲运往B地（200﹣x）吨，
乙运往A地（240﹣x）吨，乙运往B地[300﹣（240﹣x）]吨，
得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（x+60）＝4x+10040，
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，可以使总运费最少，
即甲运往A地0吨，甲运往B地200吨，乙运往A地240吨，乙运往B地60吨，
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+10040；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
26．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，动点P在直线AB上方的抛物线上移动．现将△ADP绕点A顺时针旋转45°得到△AD′P′，若直线AP′的延长线交x轴于点E（1，0），求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点B与点C（﹣1，0）关于直线x＝1对称，
∴B（3，0），
把C（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，平行四边形PCQB以BC为对角线．
过点P作PF⊥BC于点F，则∠PFB＝∠QOC＝90°．
∵PB∥QC，
∴∠PBF＝∠QCO；
又∵PB＝QC，
∴△PBF≌△QCO（AAS），
∴BF＝CO＝1，
∴F（2，0），
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴P（2，3）；
如图2，平行四边形PBCQ（或平行四边形P′CBQ′）以BC为一边，则PQ∥BC，且PQ＝BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴点P的横坐标为4或﹣4，
当x＝4时，y＝﹣42+2×4+3＝﹣5，
∴P（4，﹣5）；
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）2﹣2×4+3＝﹣21，
∴P′（﹣4，﹣21）．
综上所述，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）．
（3）如图3，作DH⊥x轴于点H，在DH上截取DG＝HE，连结并延长AG交抛物线于点P，连结EG．
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），
∵点D与点A（0，3）关于直线x＝1对称，
∴D（2，3），
∴H（2，0）.
∵E（1，0），
∴DG＝HE＝1，
∴AD＝GH＝2；
∵∠ADG＝∠GHE＝90°，
∴△ADG≌△GHE（SAS），
∴∠AGD＝∠GEH，
∴∠AGD+∠EGH＝∠GEH+∠EGH＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AG＝GE，
∴∠PAP′＝45°，
∴AP就是AP′旋转前所在的位置．
设直线AP的解析式为y＝kx+3，
∵G（2，2）在直线y＝kx+3上，
∴2k+3＝2，
解得k＝，
∴y＝x+3．
由，得，，
∴P（，）．
27．（14分）【问题情境】如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：S△BCE＝S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究：
【探究应用1】如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若BD＝6，AD＝x，AM＝y，试求y与x之间的函数关系式；
【探究应用2】如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC；
【迁移拓展】如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝8：5，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝3：2，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，求DG：DH的值．
【解答】解：【问题情境】
如图1，作EF⊥BC于F，
∴S△BCE＝BC•EF，S▱ABCD＝BC•EF，
∴S△BCE＝S▱ABCD．
【探究应用1】
解：如图2，连接OH，
∵⊙O与BC边相切于点H，
∴OH⊥BC，OH＝AD＝x，
∴S▱ABCD＝AD•OH＝x×x＝x2，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥BD，
∴S△ABD＝BD•AM＝×6y＝3y，
∵S△ABD＝S▱ABCD，
∴3y＝×x2，
即y＝x2，
∴y与x之间的函数关系式y＝x2；
【探究应用2】
证明：如图3，作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，
同图1得：S△ABF＝S△BCE＝S▱ABCD，
∴AF•BM＝CE•BN，
∵AF＝CE，
∴BM＝BN，
∴BG平分∠AGC．
【迁移拓展】
如图4，作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，
∵平行四边形ABCD中，AB：BC＝8：5，∠ABC＝120°，
∴∠ABP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
设AB＝8x，则BC＝5x，
∴BP＝AB＝4x，BQ＝BE，AP＝BP＝4x，
∵E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝3：2，
∴BE＝4x，BF＝3x，
∴BQ＝2x，
∴EQ＝2x，PF＝7x，QF＝5x，QC＝7x，
由勾股定理得：AF＝＝＝x，CE＝＝＝x，
连接DF、DE，则S△CDE＝S△ADF＝S▱ABCD，
∴CE•DH＝AF•DG，
∴DG：DH＝CE：AF＝x：x＝：．
目的地
生产商
A
B
甲
20
25
乙
15
24
目的地
生产商
A
B
甲
20
25
乙
15
24