还剩25页未读，
继续阅读
2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷
展开
这是一份2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置。）
1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.8，，中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
6．（3分）下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC和△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．2k B．6k C． D．k
8．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝ ．
12．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是 ．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（3，n）两点，则不等式ax+b＞的解集为 ．
14．（3分）如图所示，抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（C在x轴上方），过A、B、C三点的⊙M满足∠MBC＝45°，则点C的坐标为 ．
15．（3分）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
17．（7分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
18．（7分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
20．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
21．（9分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置。）
1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.8，，中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
【分析】分别计算出各数的绝对值，再比较大小即可．
【解答】解：|﹣3|＝3，
|﹣0.8|＝0.8，
||＝，
||＝，
∴＜0.8＜＜3．
∴绝对值最小的数是．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意看到的棱用实线，直接看不到的用虚线，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形内部左侧有一条实线，右侧有一条虚线．
故选：D．
3．（3分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
5．（3分）如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：B．
6．（3分）下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】利用等弧的定义、相似三角形的判定、正方形的判定及全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①长度相等的弧是等弧，错误，是假命题，不符合题意；
②一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，是假命题，不符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题的个数是0，
故选：D．
7．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC和△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．2k B．6k C． D．k
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝k．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝．
故选：C．
8．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】证明PA＝PB，可得结论．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
故选项B正确，
故选：B．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．
【解答】解：如图，连接BE、AE．
则：EB＝，AB＝．
∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．
∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cos∠ABE＝＝＝．
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝ 3（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6x+3，
＝3（x2﹣2x+1），
＝3（x﹣1）2．
12．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是 2 ．
【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4的方差是2，
∴数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5的方差是2．
故答案为：2．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（3，n）两点，则不等式ax+b＞的解集为 ﹣2＜x＜0或x＞3 ．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
则则不等式ax+b＞的解集为﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞3．
14．（3分）如图所示，抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（C在x轴上方），过A、B、C三点的⊙M满足∠MBC＝45°，则点C的坐标为 （5，3） ．
【分析】解方程得到A（2，0），B（4，0），求得AB＝2，连接MC，过C作CE⊥x轴于E，过M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，则四边形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，得到∠BMC＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝MH，CH＝BD＝推出矩形MDEH是正方形，设MH＝EH＝a，把C（3+a，a+1），代入抛物线的解析式得到a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，解方程即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，
∴A（2，0），B（4，0），
∴AB＝2，
连接MC，过C作CE⊥x轴于E，过M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，
则四边形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，
∴DM＝HE，MH＝DE，∠DMH＝90°，
∵∠BBC＝45°，BM＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∴∠DMB＝∠HMC，
∵∠MDB＝∠MHC＝90°，
∴△MDB≌△MHC（AAS），
∴DM＝MH，CH＝BD＝1，
∴矩形MDEH是正方形，
∴MH＝HE，
设MH＝EH＝a，
∴C（3+a，a+1），
∵抛物线过点C，
∴a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，
解得：a＝2，a＝﹣1（不合题意舍去），
∴点C的坐标为（5，3），
故答案为：（5，3）．
15．（3分）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC•AB＝BC•OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣1+4+﹣1
＝1﹣1+4+﹣1
＝3+．
17．（7分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ 100 ，n＝ 15 ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）根据题意可以写出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含着（A，B）在一起．
【解答】解：（1）由题意可得，
m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×35%＝35（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（3）由题意可得，
全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800×＝720（人），
答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
∴小红、小梅能分在同一组的概率是：．
18．（7分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝≈48（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5，
BF＝AB•sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.3×tan30°＝9.3×≈5.36，
∴AC＝AF+CF＝28.5+5.36≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
20．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．
（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答，也可以利用一次函数的增减性解答．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
21．（9分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，则可得出结论；
（2）i）连接OC，由勾股定理求出BC＝3，证明△COB∽△DCB，由相似三角形的性质得出，求出BD的长，则可得出答案；
ii）连接OC，设CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，证明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性质可得出BC的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD＝BC，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
解：（2）i）连接OC，
∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sinB，
∴AC＝＝1，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵OB＝CO，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∵∠CBO＝∠DBC，
∴△COB∽△DCB，
∴，
∴CB2＝OB•BD，
∵AB＝，
∴OA＝OB＝，
∴BD＝32×＝，
∴AD＝BD﹣AB＝；
ii）连接CO，
∵CD＝2CE，
设CE＝k，
∴CD＝BC＝2k，
∴DE＝3k，
∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，
∴△DAE∽△COB，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴AD＝r，
∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，
∵△COB∽△DCB，
∴，
∴BC2＝OB•BD，
∴（2k）2＝r×r，
∴k＝r，
∴BC＝2k＝r，
∴cosB＝．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m的值；
（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据三角形的面积，可得QH＝，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，
（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHP＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC•QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴当m＝2时，存在最大值．
2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置。）
1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.8，，中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
6．（3分）下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC和△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．2k B．6k C． D．k
8．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝ ．
12．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是 ．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（3，n）两点，则不等式ax+b＞的解集为 ．
14．（3分）如图所示，抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（C在x轴上方），过A、B、C三点的⊙M满足∠MBC＝45°，则点C的坐标为 ．
15．（3分）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
17．（7分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
18．（7分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
20．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
21．（9分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2021年广东省深圳市二十三校联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置。）
1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.8，，中，绝对值最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
【分析】分别计算出各数的绝对值，再比较大小即可．
【解答】解：|﹣3|＝3，
|﹣0.8|＝0.8，
||＝，
||＝，
∴＜0.8＜＜3．
∴绝对值最小的数是．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意看到的棱用实线，直接看不到的用虚线，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形内部左侧有一条实线，右侧有一条虚线．
故选：D．
3．（3分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
5．（3分）如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，即可求得n＝8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：B．
6．（3分）下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】利用等弧的定义、相似三角形的判定、正方形的判定及全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①长度相等的弧是等弧，错误，是假命题，不符合题意；
②一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，所以原命题说法错误，是假命题，不符合题意；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题的个数是0，
故选：D．
7．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC和△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．2k B．6k C． D．k
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝k．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝．
故选：C．
8．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】证明PA＝PB，可得结论．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
故选项B正确，
故选：B．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．
【解答】解：如图，连接BE、AE．
则：EB＝，AB＝．
∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．
∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cos∠ABE＝＝＝．
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，且BG＝CG，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正确；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC•CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝ 3（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6x+3，
＝3（x2﹣2x+1），
＝3（x﹣1）2．
12．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差是2，则数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是 2 ．
【分析】根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4的方差是2，
∴数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5的方差是2．
故答案为：2．
13．（3分）如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（3，n）两点，则不等式ax+b＞的解集为 ﹣2＜x＜0或x＞3 ．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
则则不等式ax+b＞的解集为﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞3．
14．（3分）如图所示，抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（C在x轴上方），过A、B、C三点的⊙M满足∠MBC＝45°，则点C的坐标为 （5，3） ．
【分析】解方程得到A（2，0），B（4，0），求得AB＝2，连接MC，过C作CE⊥x轴于E，过M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，则四边形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，得到∠BMC＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝MH，CH＝BD＝推出矩形MDEH是正方形，设MH＝EH＝a，把C（3+a，a+1），代入抛物线的解析式得到a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，解方程即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴交于A、B两点，
∴A（2，0），B（4，0），
∴AB＝2，
连接MC，过C作CE⊥x轴于E，过M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，
则四边形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，
∴DM＝HE，MH＝DE，∠DMH＝90°，
∵∠BBC＝45°，BM＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∴∠DMB＝∠HMC，
∵∠MDB＝∠MHC＝90°，
∴△MDB≌△MHC（AAS），
∴DM＝MH，CH＝BD＝1，
∴矩形MDEH是正方形，
∴MH＝HE，
设MH＝EH＝a，
∴C（3+a，a+1），
∵抛物线过点C，
∴a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，
解得：a＝2，a＝﹣1（不合题意舍去），
∴点C的坐标为（5，3），
故答案为：（5，3）．
15．（3分）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC•AB＝BC•OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（6分）计算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣1+4+﹣1
＝1﹣1+4+﹣1
＝3+．
17．（7分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m＝ 100 ，n＝ 15 ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）在抽查的m名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．
【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
（4）根据题意可以写出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含着（A，B）在一起．
【解答】解：（1）由题意可得，
m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×35%＝35（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（3）由题意可得，
全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800×＝720（人），
答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
∴小红、小梅能分在同一组的概率是：．
18．（7分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝≈48（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5，
BF＝AB•sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.3×tan30°＝9.3×≈5.36，
∴AC＝AF+CF＝28.5+5.36≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
20．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．
（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答，也可以利用一次函数的增减性解答．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
21．（9分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，则可得出结论；
（2）i）连接OC，由勾股定理求出BC＝3，证明△COB∽△DCB，由相似三角形的性质得出，求出BD的长，则可得出答案；
ii）连接OC，设CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，证明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性质可得出BC的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD＝BC，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
解：（2）i）连接OC，
∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sinB，
∴AC＝＝1，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵OB＝CO，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∵∠CBO＝∠DBC，
∴△COB∽△DCB，
∴，
∴CB2＝OB•BD，
∵AB＝，
∴OA＝OB＝，
∴BD＝32×＝，
∴AD＝BD﹣AB＝；
ii）连接CO，
∵CD＝2CE，
设CE＝k，
∴CD＝BC＝2k，
∴DE＝3k，
∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，
∴△DAE∽△COB，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴AD＝r，
∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，
∵△COB∽△DCB，
∴，
∴BC2＝OB•BD，
∴（2k）2＝r×r，
∴k＝r，
∴BC＝2k＝r，
∴cosB＝．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m的值；
（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据三角形的面积，可得QH＝，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，
∵点Q的横坐标为m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，
（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
满足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHP＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC•QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴当m＝2时，存在最大值．
相关试卷
广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷： 这是一份广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷，共22页。
广东省深圳市南山区中考数学二模试卷： 这是一份广东省深圳市南山区中考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市17校联考中考数学二模试卷： 这是一份广东省深圳市17校联考中考数学二模试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
