高考数学二轮复习专题2.11 导数的概念及计算（解析版）

第十一讲  导数的概念及计算

【套路秘籍】

一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

即f′(x0)＝＝.

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

二.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式

三.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0).

四.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

数f′(x)＝ 称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.

【套路修炼】

考向一 导数的概念

【例1】设是可导函数，且，则      。

【答案】-1

【解析】由题意

=3，所以．

【举一反三】

1.   设函数可导，则等于       。

【答案】

【解析】∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义=可知=。

2．若，则=    。

【答案】

【解析】由题得，所以，所以=1，所以=.

考向二 利用公式及运算法则求导

【例2】求下列函数的导数

     （2）  （3）    

【答案】见解析

【解析】（1）,

（2）先化简,，

（3）先使用三角公式进行化简.

；

.

【举一反三】

1．下列求导运算正确的是（　　）

A．    B．（其中e为自然对数的底数）

C．    D．

【答案】B

【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．

详解：，，，，因此只有B正确．故选B．

2．求下列函数的导数：

（1）；    （2）     (3)y＝xnlg x；(4)y＝；

【答案】见解析

【解析】（1）因为，所以.

（2）。

(3)y′＝nxn－1lg x＋xn·＝xn－1(nlg x＋)．

(4)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.

考向三 复合函数求导

【例3】求下列函数导数

（1）y＝sin(2x＋1)             （3）

【答案】（1）2cos(2x＋1)   （2）

【解析】（1）y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sin μ和μ＝2x＋1复合而成的，所以y′x＝y′μ·μ′x＝cos μ·(2x＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x＋1)．

（2）

（3）

【举一反三】求下列函数的导数：

（1）；                          （2）；

（3）；                       （4）.

【解析】（1）设，，

则.

（2）设，，，

则.

（3）设，，，

则.

（4）设，，

则.

考向四 利用导数求值

【例4】（1）f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝      .

（2）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)·x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝       。

【答案】（1）1  （2）－或

【解析】（1）f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，

由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.

（2）∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．

若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，

又对称轴为x＝－a，－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.

【举一反三】

1.已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝      。

【答案】0

【解析】∵y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.

2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝        .

【答案】　－4

【解析】　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.

3. 已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则    。

【答案】

【解析】根据题意，f（x）=2xf '（e）+lnx，其导数，

令x=e，可得，变形可得

【套路运用】

1. 若函数，则        。

【答案】

2.已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝          。

【答案】－2015

【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.

3．已知函数f(x)＝ln x－f′ ()x2＋3x－4，则f′(1)＝________．

【答案】-1

【解析】根据题意，函数f(x)＝ln x－f′ ()x2＋3x－4，
其导数，令，

令，则 即答案为-1.

4.已知函数，且，则=         。

【答案】2

【解析】因为 ，又由题意，得

5．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为     。

【答案】-1

【解析】

根据导数的几何意义的推导过程得到： 在点 处的切线的斜率为 ,

6．已知函数，则的值为     。

【答案】0

【解析】,，有.

7．给出下列结论：

①(cos x)′＝sin x；② ；③若y＝，则；④ .

其中正确的个数是        。

【答案】1

【解析】对于①，（cosx）′=﹣sinx，故错；对于②，（sin）′=0，故错；

对于③，若y=，则y′=﹣2，故错；对于④，（）′=，正确．

8．函数，则导数         。

【答案】

【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，

．

9．若，则＝________.

【答案】1

【解析】根据函数在处导数的定义知，

即答案为1.

10．的值为______________.

【答案】

【解析】故答案为.

11．已知，则处的切线斜率是_______________.

【答案】2

【解析】由可得：，即

∴处的切线斜率是2故答案为：2

12．给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则④若，则，其中正确的个数是________________．

【答案】2

【解析】对于②，，故②错误；对于③，，故③错误，

所以只有①④是正确的，故正确结论的个数为2．