（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（4）

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（四）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有（    ）种．

A． B． C． D．

4．将地球近似看作球体．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即．北京天安门广场的汉白玉华表高为米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为米，则该天的太阳直射纬度为（    ）

A．北纬 B．南纬 C．北纬 D．南纬

5．某校高一、高二、高三共有名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为人，则该校高二学生人数为（    ）

A． B． C． D．

6．渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间（分）满足的函数关系式为，若出海后分钟，这种鱼失去的新鲜度为，出海后分钟，这种鱼失去的新鲜度为，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去的新鲜度（    ）参考数据：．

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

7．已知是边长为的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列判断正确的是（    ）

A．抛物线与直线仅有一个公共点

B．双曲线与直线仅有一个公共点

C．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则

D．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则

10．已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线

B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线

C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

11．若实数，，满足，以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为  B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

12．支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（    ）

A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名

C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设抛物线的焦点为，若到直线的距离为，则        ．

14．已知等差数列和的前项和分别为和，若，则使得为整数的正整数共有       个．

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，为圆弧所在圆的圆心，点是圆弧与直线的切点，点是圆弧与直线的切点，点是圆弧与直线的切点，点是圆弧与直线的切点，，，，圆孔的半径为，则图中阴影部分的的面积为________．

16．已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，，

，四面体的体积最大值为        ．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，

③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且，，        ，求的面积．

18．（12分）已知等比数列满足，，成等比数列，，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，则是否存在正整数使为，的等比中项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（12分）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有人表示政策无效，女士中有人表示政策有效．

（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望．

参考公式：．

20．（12分）已知三棱锥，和是边长为的等边三角形，平面平面．

（1）求证：；

（2）设为中点，为内的动点(含边界)，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的零点个数．

22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（四）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】A．，错误；

B．，正确；

C．，错误；

D．，错误．

2．【答案】C

【解析】因为，所以复数z的虚部是．

3．【答案】C

【解析】先计算人中有两名分在一个地方的种数，可从个中选个，和其余的个看作个元素的全排列共有种，

再排除甲乙被分在同一地方的情况共有种，

所以不同的安排方法种数是，故选C．

4．【答案】D

【解析】由题可知，天安门广场的太阳高度角，

由华表的高和影长相等可知，所以．

所以该天太阳直射纬度为南纬．

5．【答案】B

【解析】由高一、高二、高三共有名学生，用分层抽样的方法抽取一个容量为人的样本，

因为从高二学生中抽取的人数为人，可得高二学生的人数为人．

6．【答案】A

【解析】由题意可得，解得，，

故．

令，可得，

两边同时去对数，故分钟．

7．【答案】D

【解析】如下图所示：

因为是的中点，

所以，

又因为，

所以，

故选D．

8．【答案】C

【解析】由题意，函数的定义域为，

又，所以函数为偶函数，

当时，，

利用复合函数的单调性可知：函数在时单调递减，

∵，又函数为偶函数，∴，

两边平方后，化简得，解得，

故使不等式成立的取值范围是，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】BD

【解析】对于A，抛物线与直线方程，

联立方程，消去，可得，，

所以抛物线与直线有两个个公共点，故A错误；

对于B，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行，

故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确；

对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，

则，解得，故C错误；

对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，

则，解得，故D正确．

10．【答案】AD

【解析】，

所以将曲线向左平移个单位长度，得，

再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），

得到曲线；或将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，

再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到．

11．【答案】AD

【解析】对A，因为，，所以，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最大值为，故A正确；

对B，因为，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为，故B错误；

对C，因为，所以，

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立，不符合题意，故C错误；

对D，因为，，，所以，

即，

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为，故D正确，

故选AD．

12．【答案】ABD

【解析】支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种．

选项A，这场比赛中若支球队优先各赢一场，则还有场必然有支或支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；

选项B，其中，，，，，，场比赛中，依次获胜的可以是，，，，，，此时队都获得分，并列第一名，正确；

选项C，在，，，，，，场比赛中，从中选支球队并列第一名有种可能，若选中，，其中第一类赢，有，，，，，和，，，，，两种情况，同理第二类赢，也有两种，

故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；

选项D，从支球队中选一支为第一名有种可能；这一支球队比赛的场应都赢，

则另外场的可能有种，

故只有一支球队名列第一名的概率为，正确，

故选ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】抛物线的焦点为，

因为到直线的距离为，所以，解得．

14．【答案】

【解析】因为等差数列和的前项和分别为和，且，

所以，

即，所以，

所以当，，，，，时，为整数，所以正整数共有个．

15．【答案】

【解析】如图所示：，则，，，

∴，

∵，

∴，

故答案为．

16．【答案】

【解析】如图所示，四面体内接于球，

∵为球的直径，∴，

∵，，∴，过作于，

∴，

∴点在以为圆心，为半径的小圆上运动，

当面面时，四面体的体积达到最大，

∴．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】条件选择见解析，的面积为．

【解析】若选①，由正弦定理，得，

即，所以，

因为，所以．

因为，，，所以，

所以．

若选②，由正弦定理，得．

因为，所以，所以，

化简得，所以．

因为，所以．

因为，，，所以，

所以．

若选③，由正弦定理，得．

因为，所以，所以．

因为，所以．

因为，，所以，所以，所以．

因为，，，所以，

所以．

18．【答案】（1）见解析；（2）存在，．

【解析】（1）设等比数列的公比为，易知，．

由，，成等比数列得，即，则，故．

由，，成等差数列得，

则，故或，

所以当时，；

当时，．

（2）假设存在正整数，使，，成等比数列，

则，

若，则，故，则，

此时不存在符合条件的正整数；

若，则，

即，，

因为无正整数解，所以，解得，

即当公比时，存在唯一正整数，使为，的等比中项．

19．【答案】（1），，没有的把握认为；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）由题意知，男士人数为，女士人数为，

由此填写列联表如下：

可知，，

由表中数据，计算，

所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”．

（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取名市民，

男士抽取人，女士抽取人，随机变量的可能取值为，，，，，

，，

，，

所以的分布列为

数学期望为．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取中点，连接，．

∵和是等边三角形，

∴面，面．

（2）以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系．取中点，中点，连接，，，

则平面平面，所以在线段上运动，

则，，，，，，，

设，．

设平面的一个法向量，则，即，

平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值的范围为．

21．【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）当时，函数，可得，

所以，，

可得切线方程为，即，

所以曲线在处的切线方程为．

（2）由函数的定义域为，且，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以函数在处取得极大值为，

当时，，恒成立，函数无零点；

当时，，函数有唯一零点；

当时，，

因为，所以函数在上有一个零点，

易得，

令，则，

所以函数在上单调递减，则，所以，

所以函数在上有一个零点，所以函数在上有两个零点．

综上可得，当时，函数无零点；

当时，函数有唯一零点；

当时，函数有两个零点．

22．【答案】（1）；（2）；（3）过定点，定点为．

【解析】（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，

又是等腰直角三角形，可得，即，

所以，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，线段的中点坐标，可得，即，

又点是椭圆上一动点，所以，整理得，

所以线段的中点的轨迹方程是．

（3）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，

联立，得．

由已知，设，，

由韦达定理得：，，

∵，

∴

，

∴，整理得，

故直线方程为，即，

所以直线过定点．

若直线的斜率不存在，

设方程为，设，，

由已知得，解得，

此时直线方程为，显然过点；

综上，直线过定点．