2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3月份）

这是一份2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3月份）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1
2．（4分）一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（　　）
A．属于随机事件 B．可能性大小为
C．属于不可能事件 D．是必然事件
3．（4分）抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
4．（4分）已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8
5．（4分）如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC
7．（4分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（　　）

A．﹣1 B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
9．（4分）如图1，Rt△ABC中，BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，已知y与x之间的函数关系如图2所示，则a的值是（　　）

A． B．1 C． D．
10．（4分）如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（　　）

A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝　 　cm．
12．（5分）小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是　 　．
13．（5分）已知一个扇形的半径为4cm，面积是20cm2，则它的弧长为　 　cm．
14．（5分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于　 　．

15．（5分）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长为　 　．

16．（5分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针旋转，当旋转角度为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝80厘米，DE＝25厘米，EC＝35厘米．则点D'到BC的距离是　 　厘米；点E和E′两点的距离是　 　厘米．

三、解答题（共8题，满分80分）
17．（10分）（1）计算：﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；
（2）已知＝，且a+b＝20，求a，b的值．
18．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，4），（4，3）．
（1）在图中画出点P，使点P到A，B，C三点的距离都相等；
（2）在图中画出点D，使点D在格点上，且∠ADB＝∠ACB．（画出一种情况即可）

20．（8分）如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A处测得树顶端D仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求出台阶AC的长；
（2）求出树DE的高度．

21．（10分）如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长．

22．（10分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）求证：∠A＝∠DOC；
（2）连接AO并延长交⊙O于点M，若DC＝2，AB＝4，求AM的长．

23．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．
（1）求证：AE＝DH；
（2）连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；
（3）连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．


2021年浙江省温州市龙湾区中考数学质检试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二次函数，故本选项符合题意；
B．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（4分）一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球（　　）
A．属于随机事件 B．可能性大小为
C．属于不可能事件 D．是必然事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球属于不可能事件；
故选：C．
3．（4分）抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可．
【解答】解：把x＝0代入抛物线y＝2x2+4中，
解得：y＝4，
则抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：C．
4．（4分）已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】先根据垂径定理求出AM＝AB，再根据勾股定理求出AM的值．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM＝AB，
由勾股定理可得，AM＝4，所以AB＝8．
故选：D．

5．（4分）如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为1.5米，设梯子与地面所夹的锐角为α，则cosα的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据余弦函数的定义即可求解．
【解答】解：∵在Rt△BAC中，∠ACB＝90°，AB＝2.5，BC＝1.5，
∴cosα＝cosB＝＝＝．
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【解答】解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
7．（4分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．
【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：B．
8．（4分）如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（　　）

A．﹣1 B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【分析】图中S1、S2、S3、S4图形的面积和为正方形的面积，S1+S3＝S1+S4＝扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积＝S1﹣S2，即﹣1＝﹣1．
【解答】解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S1+S3+S4；②
②﹣①，得：S1﹣S2＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝﹣1．
故选：A．

9．（4分）如图1，Rt△ABC中，BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，已知y与x之间的函数关系如图2所示，则a的值是（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】根据图象得x＝a时，点E落在AB上，y＝4即为三角形的面积，再根据相似三角形对应边的关系求解．
【解答】解：由图象得，y＝4为三角形ABC的面积．
∴S△ABC＝AC•BC＝4，
∵BC＝2，
∴AC＝4，
如图，x＝a时，点E落在AB上，

∵ED∥BC．EF∥AC，
∴△BFE∽△EDA∽△BCA，
∴，
即，
解得a＝．
故选：C．
10．（4分）如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（　　）

A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
【分析】先求出抛物线与x轴、y轴交点B，C的坐标，再由中点坐标公式求出M点的坐标；把抛物线的表达式配方成顶点式，通过比较点C与点M的相对位置，利用平移思想即可求出n与m的关系式．
【解答】解：∵抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴BC的中点M坐标为（，），即点M坐标为（2，1）．
∵点C沿着此抛物线运动，点M也随之运动，点M的运动轨迹是抛物线，且经过（2，1），（6，﹣1）
∴设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
则有，解得
∴m，n满足，n＝m2﹣m+8＝（m﹣）2﹣，
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝　4　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：4．
12．（5分）小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是　0.8　．
【分析】由小亮每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：
∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…，
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8左右，
∴估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8，
故答案为：0.8．
13．（5分）已知一个扇形的半径为4cm，面积是20cm2，则它的弧长为　10　cm．
【分析】利用扇形的面积公式S扇形＝×弧长×半径，代入可求得弧长．
【解答】解：设弧长为L，则20＝L×4，解得L＝10（cm），
故答案为：10．
14．（5分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于　　．

【分析】由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝102，解方程求得x＝6，从而求出较长边的长度．运用正切函数定义求解．
【解答】解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．
设直角三角形中较小边长为x，
则有（x+2）2+x2＝102，
解得，x＝6．
∴较长边的边长为x+2＝8．
∴tanα＝短边：长边＝6：8＝．
15．（5分）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长为　2　．

【分析】过点E作底边BC上的高ED，由△BCE的面积，可求ED的长；在△BEF中，根据三角形面积求法，可求BF的长，进而求出CF的长．
【解答】解：作EH⊥BC于H，如图，
∵∠A＝90°，AB＝AC＝6，
∴BC＝AB＝12，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝3，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH＝3，
∴BH＝12﹣3＝9，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝3，
∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH•BF，
即BF＝＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2，
故答案为2．

16．（5分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针旋转，当旋转角度为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）．已知AD＝80厘米，DE＝25厘米，EC＝35厘米．则点D'到BC的距离是　（40+60）　厘米；点E和E′两点的距离是　5　厘米．

【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝96厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝50°，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．
【解答】解：①过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝80厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝80×sin60°＝40（厘米）．
又∵CE＝35厘米，DE＝25厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝60厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（40+60）厘米．
∴点D′到BC的距离为（40+60）厘米．
②连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝80厘米，DE＝25厘米，
∴AE＝＝＝5（厘米），
∴EE′＝5厘米．
故答案为：（40+60），5．


三、解答题（共8题，满分80分）
17．（10分）（1）计算：﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；
（2）已知＝，且a+b＝20，求a，b的值．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用已知得出a＝b，进而代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2×+1﹣3
＝2﹣+1﹣3
＝﹣2；

（2）∵＝，
∴a＝b，
∵a+b＝20，
∴b+b＝20，
解得：b＝12，
则a＝8．
18．（8分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，4），（4，3）．
（1）在图中画出点P，使点P到A，B，C三点的距离都相等；
（2）在图中画出点D，使点D在格点上，且∠ADB＝∠ACB．（画出一种情况即可）

【分析】（1）利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P，根据线段垂直平分线的性质得到点P到A，B，C三点的距离都相等；
（2）以P点为圆心，PA为半径作圆，则圆上的格点（除点A、B、C外）为D点．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，点D为所作．

20．（8分）如图，小叶与小高欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A处测得树顶端D仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求出台阶AC的长；
（2）求出树DE的高度．

【分析】（1）过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，进而可得AC的长；
（2）结合（1）求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF＝BE，代入解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝3米，
∴AC＝2AB＝6（米），
（2）如图，过点A作AF⊥DE于F，

则四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝3（米），
设DE＝x米，
在Rt△CDE中，CE＝＝x，
在Rt△ABC中，BC＝3（米），
在Rt△AFD中，DF＝DE﹣EF＝x﹣3，
∴AF＝＝（x﹣3），
∵AF＝BE＝BC+CE，
∴（x﹣3）＝3+x，
解得x＝9．
∴DE＝9米．
答：树高为9米．
21．（10分）如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长．

【分析】（1）连接AE，证明∠AQE＝∠BEP后，即可用两组角对应相等判定△BPE∽△CEQ；
（2）由△BPE∽△CEQ推出，进而求出BE＝5，再证△ABC为等腰直角三角形得AE＝CE＝BE＝5，AC＝10，AQ＝15，在直角三角形AQP中，使用勾股定理求QP即可．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝BAC＝45°，
∴∠AQE+∠AEQ＝∠CAE＝45°，
∵∠PEQ＝45°，
∴∠AEQ+∠PEB＝45°，
∴∠PEB＝∠AQE，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BE＝CE，
∴BE2＝PB•CQ，
∵BP＝2，CQ＝25，
∴BE＝5，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形．
∵E为BC中点，
由三线合一知CE⊥AB，且AE＝CE＝BE＝5．
∴AC＝AB＝＝10，
∴AQ＝CQ﹣AC＝25﹣10＝15．
又AP＝AB﹣BP＝10﹣2＝8，且∠QAP＝90°，
∴PQ＝＝＝17．

22．（10分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）求证：∠A＝∠DOC；
（2）连接AO并延长交⊙O于点M，若DC＝2，AB＝4，求AM的长．

【分析】（1）连接AO并延长交BC于N，交⊙O于M，连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠CAN＝∠BAN＝BAC，求得∠CAN＝∠CBD，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到＝，由圆周角定理得到∠ACM＝90°，推出△ACM∽△BEC，得到＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于N，交⊙O于M，连接OB，
∵AC＝AB，OC＝OB，
∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴AN⊥BC，
∴∠CAN＝∠BAN＝BAC，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ANC＝90°，
∴∠ACB+∠CAN＝∠ACB+∠CBE＝90°，
∴∠CAN＝∠CBD，
∵∠COD＝2∠CBD，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）解：∵∠DCA＝∠ABD，∠CDE＝∠BAE，
∴△CED∽△BEA，
∴＝，
∵DC＝2，AB＝4，
∴＝，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°，
∴∠BEC＝∠ACM，
∵∠CAM＝∠CBE，
∴△ACM∽△BEC，
∴＝2，
∵AC＝AB＝4，
∴CM＝2，
∴AM＝＝＝2．

23．（12分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式，根据二次函数的性质求出最值；
（3）根据x为正整数且x≤80和总捐款额不低于750元确定x的取值范围，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x），
整理得 y＝﹣5x+500（x为正整数且x≤80）；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w有最大值，
即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴应降价80﹣70＝10（元），
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：w＝（x﹣40﹣5）（﹣5x+500）
＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25，
由题意得，
解得x≤70，
∵﹣5＜0，
∴x＞72.5时，w随x的增大而减小，
∴x＝70时，w最大值＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25＝3750，
答：捐款后每月最大利润是3750元．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．
（1）求证：AE＝DH；
（2）连接DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；
（3）连接HK，KE，在点E的运动过程中，当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE的长．

【分析】（1）连接HE，由圆周角定理得出∠DHE＝90°，得出四边形ADHE是矩形，即可得出结论；
（2）证出∠ADE＝∠CAB，由三角函数即可得出结果；
（3）若HK＝KE时，过K作MN⊥CD，交CD于M，交AB于N，得出∠EDK＝∠MDK＝∠CAB＝∠DCA，求出KM＝KN＝3，AN＝CM＝DM＝4，由三角函数得出NE＝，即可得出结果；若DH＝KE时，得出＝＝，由三角函数即可得出结果；若DH＝HK时，设DH＝HK＝3x，则CH＝5x，得出5x+3x＝8，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接HE，如图1所示：
∵矩形ABCD，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，
∴DE为⊙O直径，
∴∠DHE＝90°，
∴四边形ADHE是矩形，
∴AE＝DH；
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝6，AB∥CD，
∴AC＝＝＝10，
∵DE平分∠ADK，
∴∠ADE＝∠EDK，＝，
∵DE为⊙O直径，
∴DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠CAB，
∴cos∠ADE＝cos∠CAB＝，即，
∴DE＝；
（3）若HK＝KE时，过K作MN⊥CD，交CD于M，交AB于N，如图3所示：
则，MN＝BC＝6，
∴∠EDK＝∠MDK＝∠CAB＝∠DCA，
∵∠ADC＝90°，
∴DK＝AK＝CK，
∵AB∥CD，
∴KM＝KN＝3，AN＝CM＝DM＝4，
∵DE为⊙O直径，
∴∠DKE＝90°，
∴tan∠EKN＝tan∠MDK＝，
∴NE＝，
∴AE＝AN﹣NE＝4﹣＝；
若DH＝KE时，
∴＝＝，
∴tan∠ADE＝tan∠CAB＝，即，
∴AE＝；
若DH＝HK时，
∵∠ADC＝90°，
∴∠AKH＝90°，
设：DH＝HK＝3x，
∵sin∠ACD＝，
∴CH＝5x，
∵DH+CH＝CD，
∴5x+3x＝8，
∴x＝1，
∴DH＝AE＝3；
综合上述可得AE的长为或或3．