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2019年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷
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这是一份2019年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若实数 a，b 互为相反数，则下列等式中成立的是
A. a−b=0B. a+b=0C. ab=1D. ab=−1
2. 以下由两个全等的 30∘ 直角三角板拼成的图形中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50，45，36，48，50，则这组数据的众数是
A. 36B. 45C. 48D. 50
4. 一个 n 边形的内角和为 540∘，则 n 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 若分式 x−2x+3 的值为 0，则 x 的值是
A. 2B. 0C. −2D. −3
6. 小敏的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为
A. 112B. 16C. 12D. 13
7. 如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 α 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小刚上升了
A. 300sinα 米B. 300csα 米C. 300tanα 米D. 300tanα 米
8. 元宵节又称灯节，我国各地都有挂灯笼的习俗．灯笼又分为宫灯，纱灯、吊灯等．若购买 1 个宫灯和 1 个纱灯共需 75 元，小田用 690 元购买了 6 个同样的宫灯和 10 个纱灯．若设每个宫灯 x 元，每个纱灯为 y 元，由题可列二元一次方程组得
A. x+y=75,6x+y=690B. x+y=75,6x+10y=690
C. x+y=75,6x+y=690D. x+y=75,10x+6y=690
9. 如图，点 A 是射线 y=54xx≥0 上一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，以 AB 为边在其右侧作正方形 ABCD，过点 A 的双曲线 y=kx 交 CD 边于点 E，则 DEEC 的值为
A. 45B. 95C. 2536D. 1
10. 如图，BC 是 ⊙O 直径，A 是圆周上一点，把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得 △EDC，连接 BD，当 BD∥AC 时，记旋转角为 x 度，若 ∠ABC=y 度，则 y 与 x 之间满足的函数关系式为
A. y=180−2xB. y=12x+90C. y=2xD. y=12x
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：3x+9y= ．
12. 已知 18∘ 的圆心角所对的弧长是 π5 cm，则此弧所在圆的半径是 cm．
13. 不等式组 12x+1≥3,x−2x−3>0 的解集是 ．
14. 如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD，若 ∠A=50∘，∠B=35∘，则 ∠ECD 等于 ∘．
15. 如果抛物线 L：y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，且 a≠0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线的顶点 P 在直线 l 上，那么称该直线 l 是抛物线 L 的“梦想直线”．如果直线 l：y=nx+1（n 是常数）是抛物线 L：y=x2−2x+m（m 是常数）的“梦想直线”，那么 m+n 的值是 ．
16. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 ⊙O 半径的 4 倍，圆心 O 是正方形 ABCD 的中心，将纸片按图示方式折叠，使 EAʹ 恰好与 ⊙O 相切于点 Aʹ，则 tan∠AʹFE 的值为 ．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算：
（1）−12+27−3−10；
（2）化简：a−3a+3+a6−a．
18. 如图，在 △ABC 中，过点 C 作 CD∥AB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形．
（2）若 GB=3，BC=6，BF=32，求 AB 的长．
19. 全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
运动形式ABCDE人数1230m549
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受问卷调查的共有 人，图表中的 m= ，n= ；
（2）统计图中，A 类所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是 ，不运动的市民所占的百分比是 ；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500 人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人?
20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知 △ABC 的三个顶点都在格点上：
（1）按下列要求画图：
①过点 B 和一格点 D 画 AC 的平行线 BD；
②过点 C 和一格点 E 画 AB 的垂线 CE；
③在图中标出格点 D 和点 E．
（2）求 △ABC 的面积．
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点 D 的坐标；
（2）若点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求 tan∠CEB 的值．
22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切 ⊙O 于点 C，CG 是 ⊙O 的弦，CG⊥AB，垂足为 D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点 A 作 AE∥PC 交 ⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cs∠P=45，CF=10，求 BE 的长．
23. 中考前，某校文具店以每套 5 元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过 7 元，在几天的销售中发现每天的销售数量 y（套）和售价 x（元）之间存在一次函数关系，绘制图象如图．
（1）y 与 x 的函数关系式为 （并写出 x 的取值范围）；
（2）若该文具店每天要获得利润 80 元，则该套文具的售价为多少元?
（3）设销售该套文具每天获利 w 元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大?最大利润是多少?
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=5，过点 B 作 BD⊥AB，点 C，D 都在 AB 上方，AD 交 △BCD 的外接圆 ⊙O 于点 E．
（1）求证：∠CAB＝∠AEC．
（2）若 BC=3．
①EC∥BD，求 AE 的长．
② 若 △BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD 的长．
（3）若 BC=EC=5，则 S△BCDS△ACE= ．（直接写出结果即可）
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 实数 a，b 互为相反数，
∴a+b=0．
2. D【解析】A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是中心对称图形，符合题意．
3. D【解析】在这组数据 50，45，36，48，50 中，50 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 50．
4. B【解析】根据题意，得 n−2⋅180∘=540∘，解得：n=5．
5. A
【解析】由题意可知：x−2=0,x+3≠0,
解得：x=2．
6. D【解析】∵ 相同的试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，
∴ 他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 412=13．
7. A【解析】在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，AB=300 米，BO=AB⋅sinα=300sinα 米．
8. B【解析】设每个宫灯 x 元，每个纱灯 y 元，
依题意，得：x+y=75,6x+10y=690.
9. A【解析】设点 A 的横坐标为 mm>0，则点 B 的坐标为 m,0，
把 x=m 代入 y=54x 得：y=54m，
则点 A 的坐标为：m,54m，线段 AB 的长度为 54m，点 D 的纵坐标为 54m，
∵ 点 A 在反比例函数 y=kx 上，
∴k＝54m2，即反比例函数的解析式为：y=5m24x，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ 四边形的边长为 54m，
点 C，点 D 和点 E 的横坐标为 m+54m＝94m，
把 x=94m 代入 y=5m24x 得：y＝59m，
即点 E 的纵坐标为 59m，
则 EC=59m，DE=54m−59m=2536m，DEEC＝54．
10. D
【解析】∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=90∘，
又 ∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90∘，
∵∠ABC=y，
∴∠CBD=90−y，
由旋转性质可知，∠CBD=∠CDB=90−y，
在 △BCD 中，∠BCD=180∘−∠CBD+∠CDB，
即：x=180−290−y，整理，得：y=12x．
第二部分
11. 3x+3y
【解析】原式=3x+3y．
12. 2
【解析】设此弧所在圆的半径为 R cm，
则 18π×R180=π5，
解得，R=2cm．
13. 4≤x<6
【解析】
12x+1≥3, ⋯⋯①x−2x−3>0, ⋯⋯②
由 ① 得：
x≥4,
由 ② 得：
x<6,
不等式组的解集为：4≤x<6．
14. 42.5
【解析】∵∠ACD=∠A+∠B=50∘+35∘=85∘，
又 ∵CE 平分 ∠ACD，
∴∠ECD=12∠ACD=42.5∘．
15. 0
【解析】在 y=nx+1 中，令 x=0 可求得 y=1，在 y=x2−2x+m 中，令 x=0 可得 y=m，
∵ 直线与抛物线都经过 y 轴上的一点，
∴m=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x2−2x+1=x−12，
∴ 抛物线顶点坐标为 1,0，
∵ 抛物线顶点在直线上，
∴0=n+1，
解得 n=−1，
∴m+n=0．
16. 32
【解析】如图，连接 AAʹ，EO，作 OM⊥AB，AʹN⊥AB，垂足分别为 M，N．
设 ⊙O 的半径为 r，则 AM=MO=2r，设 AF=FAʹ=x，
在 Rt△FMO 中，
∵FO2=FM2+MO2，
∴r+x2=2r−x2+2r2，
∴7r=6x，
设 r=6a，则 x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FAʹ=7a，
∵AʹN∥OM，
∴AʹNOM=FAʹFO=FNFM，
∴AʹN12a=7a13a=FN5a，
∴AʹN=8413a，FN=3513a，AN=12613a，
∵∠1+∠4=90∘，∠4+∠3=90∘，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1=AʹNAN=23．
∴tan∠AʹFE=32．
第三部分
17. （1） −12+27−3−10=1+33−1=33.
（2） a−3a+3+a6−a=a2−9−6a−a2=−6a−9.
18. （1） ∵E 是 AC 的中点，
∴AE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在 △AEF 和 △CED 中，
∵∠AFE=∠CDE,∠AEF=∠CED,AE=CE,
∴△AEF≌△CEDAAS，
∴AF=CD，
又 AB∥CD，即 AF∥CD，
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形．
（2） ∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴GBGC=BFCD，即 33+6=32CD，
解得：CD=92，
∵ 四边形 AFCD 是平行四边形，
∴AF=CD=92，
∴AB=AF+BF=92+32=6．
19. （1） 150；45；36
【解析】接受问卷调查的共有 30÷20%=150 人，m=150−12+30+54+9=45，n%=54150×100%=36%，
∴n=36．
（2） 28.8∘
【解析】A 类所对应的扇形圆心角的度数为 360∘×12150=28.8∘．
（3） 散步；6%
【解析】根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是 9150×100%=6%．
（4） 1500×45150=450（人），
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有 450 人．
20. （1） ①如图所示，直线 BD 即为所求；
②如图所示，射线 CE 即为所求；
③点 D 与点 E 即为所求．
（2） △ABC 的面积为
3×4−12×1×3−12×1×4−12×2×3=112．
21. （1） 因为抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2，
所以 −23×−32+b×−3+c=0,c=2, 得 b=−43,c=2,
所以 y=−23x2−43x+2=−23x+12+83，
所以抛物线顶点 D 的坐标为 −1,83，
即该抛物线的解析式为 y=−23x2−43x+2，顶点 D 的坐标为 −1,83．
（2） 因为 y=−23x+12+83，
所以该抛物线的对称轴为直线 x=−1，
因为点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，点 C0,2，
所以点 E 的坐标为 −2,2，
当 y=0 时，0=−23x+12+83，得 x1=−3，x2=1，
所以点 B 的坐标为 1,0，
设直线 BE 的函数解析式为 y=kx+n，k+n=0,−2k+n=2, 得 k=−23,b=23,
所以直线 BE 的函数解析式为 y=−23x+23，
当 x=0 时，y=23，
设直线 BE 与 y 轴交于点 F，则点 F 的坐标为 0,23，
所以 OF=23，
因为点 C0,2，点 E−2,2，
所以 OC=2，CE=2，
所以 CF=2−23=43，
所以 tan∠CEF=CECF=432=23，
即 tan∠CEB 的值是 23．
22. （1） 连接 OC，交 AE 于 H．
∵PC 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90∘，
∴∠PCA+∠ACO=90∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACO+∠OCB=90∘，
∴∠PCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC．
（2） 方法一：
∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴AC=AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cs∠P=cs∠FAD=45，
在 Rt△AFD 中，cs∠FAD=ADAF，AF=10，
∴AD=8，
∴FD=AF2−AD2=6，
∴CD=CF+FD=16，
在 Rt△OCD 中，设 OC=r，OD=r−8，
r2=r−82+162，r=20，
∴AB=2r=40，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘，
在 Rt△AEB 中，cs∠EAB=AEAB，AB=40，
∴AE=32，
∴BE=AB2−AE2=24．
【解析】方法二：
∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，
∴∠EAO+∠COA=90∘，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90∘，
∴∠OCD=∠EAO=∠P，
在 Rt△CFH 中，cs∠HCF=CHCF，CF=10，
∴CH=8，
在 Rt△OHA 中，cs∠OAH=AHAO=45，设 AO=5x，AH=4x，
∴OH=3x，OC=3x+8，
由 OC=OA 得：3x+8=5x，x=4，
∴AO=20，
∴AB=40，
在 Rt△ABE 中，cs∠EAB=AEAB，AB=40，
∴AE=32，
∴BE=AB2−AE2=24．
23. （1） y=−20x+2005≤x≤7
【解析】设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，
把 5.5,90 和 6,80 代入 y=kx+b 得，90=5.5x+b,80=6x+b,
解得：k=−20,b=200,
∴y 与 x 的函数关系式为：y=−20x+2005≤x≤7．
（2） 根据题意得，
x−5−20x+200=80.
解得：
x1=6,x2=9不合题意舍去.
答：该套文具的售价为 6 元．
（3） 根据题意得，w=x−5−20x+200=−20x2+300x−1000，
当 x=−b2a=−3002×−20=7.5，
∵7.5>7，
∴ 当 x=7 时，文具店每天的获利最大，最大利润是 7−5−20×7+200=120（元），
答：销售单价应为 7 元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是 120 元．
24. （1） ∵ 四边形 BCED 内接于 ⊙O，
∴∠AEC=∠DBC，
又 ∵DB⊥AB，
∴∠ABC+∠DBC=90∘，
又 ∵∠ACB=90∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，∠CAB+∠ABC=90∘，
∴∠DBC=∠CAB，
∴∠CAB=∠AEC．
（2） ① 如图 1 延长 AC 交 BD 于点 F，延长 EC 交 AB 于点 G．
∵ 在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=3，
∴ 由勾股定理得，AC=4，
又 ∵BC⊥AF，AB⊥BF，∠AFB=∠BFC，
∴Rt△AFB∽Rt△BFC，
∴CFBC=BCAC，
∴BC2=CF⋅AC，
即 9=CF⋅4，解得，CF=94，
又 ∵EC∥BD，
∴CG⊥AB，
∴AB⋅CG=AC⋅BC，
即 5CG=4×3，解得，CG=125，
又 ∵ 在 Rt△ACG 中，AG=AC2−CG2，
∴AG=16−14425=165，
又 ∵EC∥DB，
∴∠AEC=∠ADB，
由（1）得，∠CAB=∠AEC，
∴∠ADB=∠CAB，
又 ∵∠ACB=∠DBA=90∘，
∴Rt△ABC∽Rt△DBA，
∴BCAB=ABAD，
即 35=5AD，解得 AD=253，
又 ∵EG∥BD，
∴AGAB=AEAD，
即 1655=AE253，
解得 AE=163 .
② 当 △BDC 是直角三角形时，如图 2 所示，
∵∠BCD=90∘，
∴BD 为 ⊙O 直径，
又 ∵∠ACB＝90∘，
∴A，C，D 三点共线，
即 BC⊥AD 时垂足为 C，此时 C 点与 E 点重合．
又 ∵∠DAB=∠BAC，∠ACB=ABD=90∘，
∴Rt△ACB∽Rt△ABD，
∴ACAB=ABAD，
即 45=5AD，解得 AD=254，
又 ∵ 在 Rt△ABD 中，BD=AD2−AB2，
∴BD=62516−25=154．
（3） 819−95
【解析】如图 3，
由 B，C，E 都在 ⊙O 上，且 BC=CE=5，
∴BC=CE，
∴∠ADC=∠BDC，
即 DC 平分 ∠ADB，
过 C 作 CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB 垂足分别为 M，N，H．
∵ 在 Rt△ACB 中 AB=5，BC=5，
∴AC=25，
又 ∵ 在 Rt△ACB 中 CH⊥AB，
∴AB⋅CH=AC⋅BC，
即 5CH=25×5，
解得，CH=2，
∴MB=2，
又 ∵DC 平分 ∠ADB，
∴CM=CN，
又 ∵ 在 Rt△CHB 中 BC=5，CH=2，
∴HB=1，
∴CM=CN=1，
又 ∵ 在 △DCN 与 △DCM 中，
∠NDC=∠MDC,∠DNC=∠DMC,DC=DC,
∴△DCN 与 △DCMAAS，
∴DN=DM，
设 DN=DM=x，
则 BD=x+2，AD=x+19，
在 Rt△ABD 中，
由 AB2+BD2=AD2 得，25+x+22=x+192，
解得，x=19+23，
∴BD=BM+MD=2+19+23=19+83，
又由（1）得 ∠CAB=∠AEC，且 ∠ENC=∠ACB，
∴△ENC∽△ACB，
∴NCEN=ACBC=255=2，
∴NE=2，
又 ∵ 在 Rt△CAN 中，CN=1，AC=25，
∴AN=AC2−CN2=20−1=19，
∴AE=AN+NE=19+2，
又 ∵S△BCD=12BD⋅CM，S△ACE=12AE⋅CN，CM=CN，
∴S△BCDS△ACE=BDAE=19+832+19=819−95，
故 S△BCDS△ACE=819−95．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若实数 a，b 互为相反数，则下列等式中成立的是
A. a−b=0B. a+b=0C. ab=1D. ab=−1
2. 以下由两个全等的 30∘ 直角三角板拼成的图形中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50，45，36，48，50，则这组数据的众数是
A. 36B. 45C. 48D. 50
4. 一个 n 边形的内角和为 540∘，则 n 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 若分式 x−2x+3 的值为 0，则 x 的值是
A. 2B. 0C. −2D. −3
6. 小敏的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为
A. 112B. 16C. 12D. 13
7. 如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 α 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小刚上升了
A. 300sinα 米B. 300csα 米C. 300tanα 米D. 300tanα 米
8. 元宵节又称灯节，我国各地都有挂灯笼的习俗．灯笼又分为宫灯，纱灯、吊灯等．若购买 1 个宫灯和 1 个纱灯共需 75 元，小田用 690 元购买了 6 个同样的宫灯和 10 个纱灯．若设每个宫灯 x 元，每个纱灯为 y 元，由题可列二元一次方程组得
A. x+y=75,6x+y=690B. x+y=75,6x+10y=690
C. x+y=75,6x+y=690D. x+y=75,10x+6y=690
9. 如图，点 A 是射线 y=54xx≥0 上一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，以 AB 为边在其右侧作正方形 ABCD，过点 A 的双曲线 y=kx 交 CD 边于点 E，则 DEEC 的值为
A. 45B. 95C. 2536D. 1
10. 如图，BC 是 ⊙O 直径，A 是圆周上一点，把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得 △EDC，连接 BD，当 BD∥AC 时，记旋转角为 x 度，若 ∠ABC=y 度，则 y 与 x 之间满足的函数关系式为
A. y=180−2xB. y=12x+90C. y=2xD. y=12x
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：3x+9y= ．
12. 已知 18∘ 的圆心角所对的弧长是 π5 cm，则此弧所在圆的半径是 cm．
13. 不等式组 12x+1≥3,x−2x−3>0 的解集是 ．
14. 如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD，若 ∠A=50∘，∠B=35∘，则 ∠ECD 等于 ∘．
15. 如果抛物线 L：y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，且 a≠0）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线的顶点 P 在直线 l 上，那么称该直线 l 是抛物线 L 的“梦想直线”．如果直线 l：y=nx+1（n 是常数）是抛物线 L：y=x2−2x+m（m 是常数）的“梦想直线”，那么 m+n 的值是 ．
16. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 ⊙O 半径的 4 倍，圆心 O 是正方形 ABCD 的中心，将纸片按图示方式折叠，使 EAʹ 恰好与 ⊙O 相切于点 Aʹ，则 tan∠AʹFE 的值为 ．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算：
（1）−12+27−3−10；
（2）化简：a−3a+3+a6−a．
18. 如图，在 △ABC 中，过点 C 作 CD∥AB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形．
（2）若 GB=3，BC=6，BF=32，求 AB 的长．
19. 全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目：A：健身房运动；B：跳广场舞；C：参加暴走团；D：散步；E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
运动形式ABCDE人数1230m549
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）接受问卷调查的共有 人，图表中的 m= ，n= ；
（2）统计图中，A 类所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是 ，不运动的市民所占的百分比是 ；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500 人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人?
20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知 △ABC 的三个顶点都在格点上：
（1）按下列要求画图：
①过点 B 和一格点 D 画 AC 的平行线 BD；
②过点 C 和一格点 E 画 AB 的垂线 CE；
③在图中标出格点 D 和点 E．
（2）求 △ABC 的面积．
21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点 D 的坐标；
（2）若点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求 tan∠CEB 的值．
22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切 ⊙O 于点 C，CG 是 ⊙O 的弦，CG⊥AB，垂足为 D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点 A 作 AE∥PC 交 ⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cs∠P=45，CF=10，求 BE 的长．
23. 中考前，某校文具店以每套 5 元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过 7 元，在几天的销售中发现每天的销售数量 y（套）和售价 x（元）之间存在一次函数关系，绘制图象如图．
（1）y 与 x 的函数关系式为 （并写出 x 的取值范围）；
（2）若该文具店每天要获得利润 80 元，则该套文具的售价为多少元?
（3）设销售该套文具每天获利 w 元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大?最大利润是多少?
24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=5，过点 B 作 BD⊥AB，点 C，D 都在 AB 上方，AD 交 △BCD 的外接圆 ⊙O 于点 E．
（1）求证：∠CAB＝∠AEC．
（2）若 BC=3．
①EC∥BD，求 AE 的长．
② 若 △BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD 的长．
（3）若 BC=EC=5，则 S△BCDS△ACE= ．（直接写出结果即可）
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 实数 a，b 互为相反数，
∴a+b=0．
2. D【解析】A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是中心对称图形，符合题意．
3. D【解析】在这组数据 50，45，36，48，50 中，50 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 50．
4. B【解析】根据题意，得 n−2⋅180∘=540∘，解得：n=5．
5. A
【解析】由题意可知：x−2=0,x+3≠0,
解得：x=2．
6. D【解析】∵ 相同的试卷共 12 页，其中语文 2 页、数学 4 页、英语 6 页，
∴ 他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 412=13．
7. A【解析】在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，AB=300 米，BO=AB⋅sinα=300sinα 米．
8. B【解析】设每个宫灯 x 元，每个纱灯 y 元，
依题意，得：x+y=75,6x+10y=690.
9. A【解析】设点 A 的横坐标为 mm>0，则点 B 的坐标为 m,0，
把 x=m 代入 y=54x 得：y=54m，
则点 A 的坐标为：m,54m，线段 AB 的长度为 54m，点 D 的纵坐标为 54m，
∵ 点 A 在反比例函数 y=kx 上，
∴k＝54m2，即反比例函数的解析式为：y=5m24x，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ 四边形的边长为 54m，
点 C，点 D 和点 E 的横坐标为 m+54m＝94m，
把 x=94m 代入 y=5m24x 得：y＝59m，
即点 E 的纵坐标为 59m，
则 EC=59m，DE=54m−59m=2536m，DEEC＝54．
10. D
【解析】∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=90∘，
又 ∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90∘，
∵∠ABC=y，
∴∠CBD=90−y，
由旋转性质可知，∠CBD=∠CDB=90−y，
在 △BCD 中，∠BCD=180∘−∠CBD+∠CDB，
即：x=180−290−y，整理，得：y=12x．
第二部分
11. 3x+3y
【解析】原式=3x+3y．
12. 2
【解析】设此弧所在圆的半径为 R cm，
则 18π×R180=π5，
解得，R=2cm．
13. 4≤x<6
【解析】
12x+1≥3, ⋯⋯①x−2x−3>0, ⋯⋯②
由 ① 得：
x≥4,
由 ② 得：
x<6,
不等式组的解集为：4≤x<6．
14. 42.5
【解析】∵∠ACD=∠A+∠B=50∘+35∘=85∘，
又 ∵CE 平分 ∠ACD，
∴∠ECD=12∠ACD=42.5∘．
15. 0
【解析】在 y=nx+1 中，令 x=0 可求得 y=1，在 y=x2−2x+m 中，令 x=0 可得 y=m，
∵ 直线与抛物线都经过 y 轴上的一点，
∴m=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x2−2x+1=x−12，
∴ 抛物线顶点坐标为 1,0，
∵ 抛物线顶点在直线上，
∴0=n+1，
解得 n=−1，
∴m+n=0．
16. 32
【解析】如图，连接 AAʹ，EO，作 OM⊥AB，AʹN⊥AB，垂足分别为 M，N．
设 ⊙O 的半径为 r，则 AM=MO=2r，设 AF=FAʹ=x，
在 Rt△FMO 中，
∵FO2=FM2+MO2，
∴r+x2=2r−x2+2r2，
∴7r=6x，
设 r=6a，则 x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FAʹ=7a，
∵AʹN∥OM，
∴AʹNOM=FAʹFO=FNFM，
∴AʹN12a=7a13a=FN5a，
∴AʹN=8413a，FN=3513a，AN=12613a，
∵∠1+∠4=90∘，∠4+∠3=90∘，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1=AʹNAN=23．
∴tan∠AʹFE=32．
第三部分
17. （1） −12+27−3−10=1+33−1=33.
（2） a−3a+3+a6−a=a2−9−6a−a2=−6a−9.
18. （1） ∵E 是 AC 的中点，
∴AE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在 △AEF 和 △CED 中，
∵∠AFE=∠CDE,∠AEF=∠CED,AE=CE,
∴△AEF≌△CEDAAS，
∴AF=CD，
又 AB∥CD，即 AF∥CD，
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形．
（2） ∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴GBGC=BFCD，即 33+6=32CD，
解得：CD=92，
∵ 四边形 AFCD 是平行四边形，
∴AF=CD=92，
∴AB=AF+BF=92+32=6．
19. （1） 150；45；36
【解析】接受问卷调查的共有 30÷20%=150 人，m=150−12+30+54+9=45，n%=54150×100%=36%，
∴n=36．
（2） 28.8∘
【解析】A 类所对应的扇形圆心角的度数为 360∘×12150=28.8∘．
（3） 散步；6%
【解析】根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是 9150×100%=6%．
（4） 1500×45150=450（人），
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有 450 人．
20. （1） ①如图所示，直线 BD 即为所求；
②如图所示，射线 CE 即为所求；
③点 D 与点 E 即为所求．
（2） △ABC 的面积为
3×4−12×1×3−12×1×4−12×2×3=112．
21. （1） 因为抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2，
所以 −23×−32+b×−3+c=0,c=2, 得 b=−43,c=2,
所以 y=−23x2−43x+2=−23x+12+83，
所以抛物线顶点 D 的坐标为 −1,83，
即该抛物线的解析式为 y=−23x2−43x+2，顶点 D 的坐标为 −1,83．
（2） 因为 y=−23x+12+83，
所以该抛物线的对称轴为直线 x=−1，
因为点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，点 C0,2，
所以点 E 的坐标为 −2,2，
当 y=0 时，0=−23x+12+83，得 x1=−3，x2=1，
所以点 B 的坐标为 1,0，
设直线 BE 的函数解析式为 y=kx+n，k+n=0,−2k+n=2, 得 k=−23,b=23,
所以直线 BE 的函数解析式为 y=−23x+23，
当 x=0 时，y=23，
设直线 BE 与 y 轴交于点 F，则点 F 的坐标为 0,23，
所以 OF=23，
因为点 C0,2，点 E−2,2，
所以 OC=2，CE=2，
所以 CF=2−23=43，
所以 tan∠CEF=CECF=432=23，
即 tan∠CEB 的值是 23．
22. （1） 连接 OC，交 AE 于 H．
∵PC 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90∘，
∴∠PCA+∠ACO=90∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACO+∠OCB=90∘，
∴∠PCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC．
（2） 方法一：
∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴AC=AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cs∠P=cs∠FAD=45，
在 Rt△AFD 中，cs∠FAD=ADAF，AF=10，
∴AD=8，
∴FD=AF2−AD2=6，
∴CD=CF+FD=16，
在 Rt△OCD 中，设 OC=r，OD=r−8，
r2=r−82+162，r=20，
∴AB=2r=40，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘，
在 Rt△AEB 中，cs∠EAB=AEAB，AB=40，
∴AE=32，
∴BE=AB2−AE2=24．
【解析】方法二：
∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，
∴∠EAO+∠COA=90∘，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90∘，
∴∠OCD=∠EAO=∠P，
在 Rt△CFH 中，cs∠HCF=CHCF，CF=10，
∴CH=8，
在 Rt△OHA 中，cs∠OAH=AHAO=45，设 AO=5x，AH=4x，
∴OH=3x，OC=3x+8，
由 OC=OA 得：3x+8=5x，x=4，
∴AO=20，
∴AB=40，
在 Rt△ABE 中，cs∠EAB=AEAB，AB=40，
∴AE=32，
∴BE=AB2−AE2=24．
23. （1） y=−20x+2005≤x≤7
【解析】设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，
把 5.5,90 和 6,80 代入 y=kx+b 得，90=5.5x+b,80=6x+b,
解得：k=−20,b=200,
∴y 与 x 的函数关系式为：y=−20x+2005≤x≤7．
（2） 根据题意得，
x−5−20x+200=80.
解得：
x1=6,x2=9不合题意舍去.
答：该套文具的售价为 6 元．
（3） 根据题意得，w=x−5−20x+200=−20x2+300x−1000，
当 x=−b2a=−3002×−20=7.5，
∵7.5>7，
∴ 当 x=7 时，文具店每天的获利最大，最大利润是 7−5−20×7+200=120（元），
答：销售单价应为 7 元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是 120 元．
24. （1） ∵ 四边形 BCED 内接于 ⊙O，
∴∠AEC=∠DBC，
又 ∵DB⊥AB，
∴∠ABC+∠DBC=90∘，
又 ∵∠ACB=90∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，∠CAB+∠ABC=90∘，
∴∠DBC=∠CAB，
∴∠CAB=∠AEC．
（2） ① 如图 1 延长 AC 交 BD 于点 F，延长 EC 交 AB 于点 G．
∵ 在 Rt△ABC 中，AB=5，BC=3，
∴ 由勾股定理得，AC=4，
又 ∵BC⊥AF，AB⊥BF，∠AFB=∠BFC，
∴Rt△AFB∽Rt△BFC，
∴CFBC=BCAC，
∴BC2=CF⋅AC，
即 9=CF⋅4，解得，CF=94，
又 ∵EC∥BD，
∴CG⊥AB，
∴AB⋅CG=AC⋅BC，
即 5CG=4×3，解得，CG=125，
又 ∵ 在 Rt△ACG 中，AG=AC2−CG2，
∴AG=16−14425=165，
又 ∵EC∥DB，
∴∠AEC=∠ADB，
由（1）得，∠CAB=∠AEC，
∴∠ADB=∠CAB，
又 ∵∠ACB=∠DBA=90∘，
∴Rt△ABC∽Rt△DBA，
∴BCAB=ABAD，
即 35=5AD，解得 AD=253，
又 ∵EG∥BD，
∴AGAB=AEAD，
即 1655=AE253，
解得 AE=163 .
② 当 △BDC 是直角三角形时，如图 2 所示，
∵∠BCD=90∘，
∴BD 为 ⊙O 直径，
又 ∵∠ACB＝90∘，
∴A，C，D 三点共线，
即 BC⊥AD 时垂足为 C，此时 C 点与 E 点重合．
又 ∵∠DAB=∠BAC，∠ACB=ABD=90∘，
∴Rt△ACB∽Rt△ABD，
∴ACAB=ABAD，
即 45=5AD，解得 AD=254，
又 ∵ 在 Rt△ABD 中，BD=AD2−AB2，
∴BD=62516−25=154．
（3） 819−95
【解析】如图 3，
由 B，C，E 都在 ⊙O 上，且 BC=CE=5，
∴BC=CE，
∴∠ADC=∠BDC，
即 DC 平分 ∠ADB，
过 C 作 CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB 垂足分别为 M，N，H．
∵ 在 Rt△ACB 中 AB=5，BC=5，
∴AC=25，
又 ∵ 在 Rt△ACB 中 CH⊥AB，
∴AB⋅CH=AC⋅BC，
即 5CH=25×5，
解得，CH=2，
∴MB=2，
又 ∵DC 平分 ∠ADB，
∴CM=CN，
又 ∵ 在 Rt△CHB 中 BC=5，CH=2，
∴HB=1，
∴CM=CN=1，
又 ∵ 在 △DCN 与 △DCM 中，
∠NDC=∠MDC,∠DNC=∠DMC,DC=DC,
∴△DCN 与 △DCMAAS，
∴DN=DM，
设 DN=DM=x，
则 BD=x+2，AD=x+19，
在 Rt△ABD 中，
由 AB2+BD2=AD2 得，25+x+22=x+192，
解得，x=19+23，
∴BD=BM+MD=2+19+23=19+83，
又由（1）得 ∠CAB=∠AEC，且 ∠ENC=∠ACB，
∴△ENC∽△ACB，
∴NCEN=ACBC=255=2，
∴NE=2，
又 ∵ 在 Rt△CAN 中，CN=1，AC=25，
∴AN=AC2−CN2=20−1=19，
∴AE=AN+NE=19+2，
又 ∵S△BCD=12BD⋅CM，S△ACE=12AE⋅CN，CM=CN，
∴S△BCDS△ACE=BDAE=19+832+19=819−95，
故 S△BCDS△ACE=819−95．
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