2023年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，主视图相同的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，整个圆代表七年级全体同学参加数学拓展课的总人数，其中参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的，则图中表示“生活数学”拓展课人数的扇形是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两个不相等实数根，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列图象中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结，点与圆心不重合，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  若函数的图象上有两点，，则(    )

A.  B.
C.  D. ，的大小不确定

10.  如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论：
；
与全等的三角形共有个；
四边形与四边形面积相等；
由点、、、构成的四边形是菱形．
其中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在天中每天所出的次品数如下单位：个：，，，，，，那么该班组在天中出的次品数的方差的值是______ ．

13.  ______．

14.  已知圆弧的半径为，所对的圆心角为，则此圆心角所对的弧长为______结果可保留．

15.  如图，已知是等腰三角形，，，点在边上，将绕点逆时针旋转得到，且点、、三点在同一条直线上，则的度数是______．

16.  如图，在中，，，，点是线段上任意一点，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，，，则的最大值是______ ，最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：．

18.  本小题分
如图，平分，．
求证：；
若，求的度数．

19.  本小题分
如图，请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图．
如图，四边形的顶点都在格点上，请在边上找一点，使得；
如图，点、、均为格点，请过点画出所有满足条件的直线，使得点、到直线的距离相等．

20.  本小题分
年，国家教育部新颁发的义务教育语文课程标准提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、军事、农业”四类书籍中，选取自己最想读的一种必选且只选一种，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题：

此次调查中，一共抽取了______名学生；
补全条形统计图，并求出扇形中“教育”部分的圆心角度数；
若该校共有名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？

21.  本小题分
经过实验获得两个变量，的一组对应值如表．

用描点法在图中画出函数的图象；
求这个函数的表达式；
当时，记函数的最大值为，最小值为，求的值．

22.  本小题分
如图，是的直径，，是的中点，连接并延长到点，使连接交于点，连接，．
求证：直线是的切线；
若，求的长；
在的条件下，连接，求的值．

23.  本小题分
悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸或桥两端的缆索或钢链作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆吊杆垂直于桥面，把桥面吊住．
某悬索桥如图，是连接两个地区的重要通道．图是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索即图中桥上方的曲线的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与桥面垂直．主桥的长为，引桥的长为缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点相距处的吊杆长为若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端与锚点的距离．
 

24.  本小题分
在中，，，点是外一动点点，点位于两侧，连接，．

如图，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______；
如图，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
如图，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值及此时线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法，列出正确的算式是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：长方体主视图是横向的长方形，圆柱体主视图是长方形，球的主视图是圆，三棱柱主视图是长方形，
故选：．
主视图是从物体正面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：扇形的圆心角为，
表示参加此类课的人数占总数的：，
，
扇形的面积一定比大，
图中表示“生活数学”拓展课人数的扇形是，
故选：．
首先根据扇形的圆心角为可得参加此类课的人数约占总数的，再根据，可得扇形的面积一定比大，根据图可选出答案．
此题主要考查了扇形统计图，关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
正面都朝上的概率是：．
故选C．
首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，
因此，选项B中的图象，表示是的函数，故B符合题意；
选项A、、中的图象，不表示是的函数，故A、、不符合题意．
故选：．
在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断．
本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
中，，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时．随的增大而减小，
，
，
故选：．
先求出二次函数的对称轴，再根据函数的性质判断即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，，
，≌≌≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，故正确；
，
由菱形的性质得：≌≌，
在和中，
，
≌，
≌≌≌≌≌≌，故不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故正确；
故选：．
由证明≌，得出，证出是的中位线，得出，正确；
先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，正确；
由菱形的性质得≌≌，再由证明≌，得≌≌≌≌≌≌，则不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出正确．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：天中每天所出的次品数如下：，，，，，，，
这七个数的平均数为，
该班组在天中出的次品数的方差的值是：
，
故答案为：．
先求得次品数的平均数，然后用方差公式进行计算即可．
本题考查了求平均数和方差，掌握求一组数据的平均数和方差的公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是分式的加减运算，因为分母相同，所以分母不变，分子直接相减，然后约分化简．
【解答】
解：


．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：圆弧的半径为，所对的圆心角为，
则此圆心角所对的弧长，
故答案为
利用弧长的计算公式计算即可．
本题考查了弧长的计算公式，运用公式解题时，需注意公式中的值在代入计算时不能带有度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，
，

故答案为：
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：在中，，，，于点，

设，
则，
，
即，
解得，
即，
，
，
由三角形面积公式，得，，
，，
，
即．
中边上的高为，
的取值范围为．
随的增大而减小，
当时，的最大值为，当时，的最小值为．
故答案为：，．
根据即可得到关于的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当时，最小，由面积公式可求得；因为，，所以当时，最大．从而根据反比例函数的性质求出的最大值和最小值．
本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式，反比例函数的应用是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值；然后计算加减法；
先计算括号内的，然后对分式的分子进行因式分解，通过约分进行化简．
本题主要考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，把分式化到最简是解答题的关键．
 

18.【答案】证明：平分，
．
在和中，
，
≌，
．
解：由得：≌，
，，
，
，
． 

【解析】由角平分线的定义可得，利用可判定≌，从而得；
结合与四边形的内角和为可求得的度数，从而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是明确图中的隐含条件公共边．
 

19.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，直线，直线即为所求．
 

【解析】连接，作出线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求；
取格点，作直线，连接取的中点，作直线即可．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：根据题意得：名，
故答案为：；
，
答：扇形中“教育”部分的圆心角度数为；
根据题意得：名，
答：估计大约有名学生最想阅读“科技”类书籍．
由农业类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
用乘以教育”部分的人数占被调查人数的比例即可；
求出最想读科技类书籍的学生占的比例，乘以即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

21.【答案】解：利用描点法画出图形即可．

由图象可知，是的反比例函数，设，
把代入得到，，
关于的函数解析式为；
时，反比例函数中随的增大而减小，
时，函数的最大值为，最小值，
． 

【解析】利用描点法即可解决问题；
由图象可知，是的反比例函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
由图象得出函数的增减性，求出最大值，最小值，代入即可求解．
本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
直线是的切线；
解：，
，
由得：≌，
，
，
，
，
．
解：作于，如图所示：
，
，
由得：≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积，
，
，
． 

【解析】证明≌，可得，可得结论；
由得：≌，则，根据勾股定理得：，利用面积法可得的长；
作于，由题意得出，，得出，由等腰直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，由面积法求出，由勾股定理求出的长，然后由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系．
依题意可知，，，，，，，，，．
由抛物线的对称性可知，则可得点坐标：，，．
设抛物线的表达式为，
因为抛物线经过点，
所以将点的坐标带入得．
解得，
得抛物线的表达式为，
当时，得，
因为，
所以．
所以．
答：索塔顶端与锚点的距离为米． 

【解析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令求得的长，然后利用勾股定理求得的长即可．
考查了二次函数的性质，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系并求得函数的解析式，难度中等．
 

24.【答案】；
线段，，之间的数量关系为：，理由如下：
过点作交的延长线于点，如图所示：

则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
；

连接，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
是的外接圆，
是的中点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
是定值，
点到的距离最大时，面积的面积最大，
是的直径，
过点作于，延长与的交点恰好是点时，点到的距离最大，面积的面积最大，

，
，
，
，
此时，在中，，
在中，，
在中，，
由知，，
，
，
，
即面积的面积最大值为，此时，． 

【解析】解：，，点是的中点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：；

见答案；
见答案．

由等腰直角三角形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后求出，即可求解；
 过点作交的延长线于点，证≌，得；
连接，由勾股定理得，过点作于，延长交圆于点，此时点到的距离最大，面积的面积最大，然后由三角形面积求出，则，即可求解三角形的面积最大值，最后用勾股定理借助的结论求出，即可求出．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明≌是解题的关键，属于中考常考题型．