江苏省扬州市邗江区蒋王中学2019-2020学年高三下学期3月检测数学试题

蒋王中学2020届高三数学检测（3.15）

(满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上.

1.已知集合，，则______

【答案】

【解析】

【分析】

直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.

【详解】因为集合，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.

2.设i是虚数单位，复数的模为1，则正数的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先化简复数，再解方程即得解.

【详解】由题得，

因为复数z的模为1，

所以，解之得正数a＝．

故答案为

【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．

【答案】48

【解析】

【分析】

先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.

【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为

所以全团抽取的人数为：＝48.

故答案为48

【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4.根据如图所示的伪代码，则输出的值为______.

【答案】10

【解析】

【分析】

模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，直到不满足条件跳出循环，输出I的值即可．

【详解】模拟程序的运行，可得，.

满足条件，执行循环体，，；

满足条件，执行循环体，，；

满足条件，执行循环体，，；

不满足条件，退出循环，输出的值为10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题．

5.已知，，，则下列不等关系正确的是_______.

①②③④

【答案】④

【解析】

【分析】

首先化简得到，再化简得到，即可得到答案.

【详解】，所以.

，

因为，所以，

综上.

故答案为：④

【点睛】本题主要考查指数，对数的比较大小，同时考查指数幂的运算，属于简单题.

6.甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出基本事件总数，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率．

【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为.

故答案为：．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.在平面直角坐标亲中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用双曲线的离心率求出，关系，然后求解渐近线方程即可．

【详解】由已知可知离心率，，即.

∵双曲线的焦点在轴上

∴该双曲线的渐近线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

8.在等差数列中，，则数列的前11项和____________.

【答案】132

【解析】

【分析】

由已知求得a6，再由S11＝11a6求得答案．

【详解】由a9a12+6，得2a9﹣a12＝12，

即2a1+16d﹣a1﹣11d＝12，∴a1+5d＝12，a6＝12．

则S11＝11a6＝11×12＝132．

故答案为：132

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．

9.已知函数，若，则实数的值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

解方程即得a的值.

【详解】∵

∴

 ∵

∴，

因为

所以解得a＝．

故答案为

【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

10.已知函数，若函数（）是偶函数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果．

【详解】∵函数

∴函数

∵函数（）是偶函数

∴，

∴，

∵

∴当时，.

故答案为：.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

11.在平面直角坐标系中，已知直线l：，点，动点P满足.若P点到直线l的距离恒小于8，则实数m的取值范围______.

【答案】

【解析】

【分析】

设，由已知列式求得点的轨迹方程，可得在以为圆心，以5为半径的圆上，把点到直线的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到的取值范围．

详解】设.

∵，动点满足

∴，即.

∴在以为圆心，以5为半径的圆上

∵点到直线：的距离恒小于8

∴，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

12.抛物线与椭圆有公共的焦点，它们的一个交点为，且轴，则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

设椭圆的左焦点为点，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，连接，推导出四边形为正方形，可得出，进而可得出，再利用椭圆的定义可得出、的等量关系式，由此可求得椭圆的离心率.

【详解】设椭圆的左焦点为点，过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，连接，

由抛物线的定义可得，

轴，轴，，则四边形为正方形，

，，

由椭圆的定义可得，即，

因此，椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、椭圆的方程与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出、，从而求出；②构造、的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.考查运算求解能力，属于中等题.

13.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为_______．

【答案】5﹣

【解析】

【分析】

设圆心为O,AB中点为D,先求出，再求PM的最小值得解.

【详解】设圆心为O,AB中点为D,

由题得.

取AC中点M，由题得,

两方程平方相减得，

要使取最小值，就是PM最小，

当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.

此时DM=,

所以PM有最小值为2﹣，

代入求得的最小值为5﹣．

故答案为5﹣

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14.已知，，且，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

将不等式两边同乘以，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值.

【详解】∵，，且

∴

∵

∴，当且仅当时取等号

令，原不等式转化为，解得.

∴

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且.

（I）求角的大小；

（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.

【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．

【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.

又，所以·因为，则.

因为，所以或.

又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.

（Ⅱ）因为，

所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.

又，从而为锐角三角形.

【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．

16.如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；

（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平面平面，得到平面，从而得到，结合，即可得证．

【详解】（1）∵，分别是，的中点

∴

∵平面，平面

∴平面.

（2）∵为正三角形，且D是的中点

∴

∵平面平面，且平面平面，平面

∴平面

∵平面

∴

∵且

∴

∵，平面，且

∴平面.

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．

17.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.

【详解】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.

所以，所以，故椭圆C的方程为:.

（2）设直线的方程为，

当时，代入，

得:.

设，线段的中点为，

，

即

因为，则，所以，

化简得，解得或，

即直线的斜率为或.

【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：，，，长1千米，长千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊，扇形以长为半径，弧为湖岸，其余部分为滩地，B，D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段线段弧，其中Q在线段上（异于线段端点），与弧相切于P点（异于弧端点］根据市场行情，段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧的建造费用是每千米万元（步行道的宽度不计），设为弧度观光步行道的建造费用为万元.

（1）求步行道的建造费用关于的函数关系式，并求其走义域；

（2）当为何值时，步行道的建造费用最低？

【答案】（1），定义域：；（2）当时，步行道的建造费用最低.

【解析】

【分析】

（1）以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得所在圆的方程为，可得，从而求得所在直线方程，与所在直线方程联立求得坐标，即可得到与，再由弧长公式求的长，再根据与相切于点（异于弧端点）与，即可求得函数关系式与其定义域；

（2）令，利用导数求使步行道的建造费用最低时的值．

【详解】（1）以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则所在圆的方程为，，，直线：.

∵直线的方程为

∴.

所以，，弧长，

所以，化简得.

∵与相切于点（异于弧端点），

∴定义域：.

（2）令，求导得，令，

（舍去），，，

所以当时，最小，即w最小，当时，步行道的建造费用最低.

【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．

19.已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小于3的正整数，，使得.

（1）若，，求的值；

（2）求证：数列是等差数列；

（3）若，是否存在整数，，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）见解析（3）存在满足题意．

【解析】

【分析】

(1)令n=3即得的值；（2）利用等差数列的中项公式证明数列为等差数列；（3）化简得，再分析得到.

【详解】（1）当时，，

因为，所以.

（2）由，得，

两式相减，得，即，

所以.

两式相减，得，所以数列为等差数列.

（3）依题意：，由得：，

即，

所以.

因为，且，所以，

又因为，且为奇数，

所以时，是整数，此时，

所以.

【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列和等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20.已知函数，，.

（1）求函数的单调增区间；

（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点0，m，n，其中.

①若，求函数在处的切线方程；

②若对，恒成立，求实数t的去取值范围.

【答案】（1）单调增区间是，；（2）①，②或

【解析】

【分析】

（1）先求得函数，对函数求导，令大于零，解不等式即可求得单调增区间；
（2）易知，，①求出，的值，进而求得切线方程；②由对，恒成立，可得，分与两种情况讨论，从而可求得的取值范围．

详解】（1）∵，

∴

∴，令，得或.

∴的单调增区间是，.

（2）由方程，得m，n是方程的两实根，故，，且由判别式得.

①若，得，，故，得，

因此，故函数在处的切线方程为.

②若对任意的，都有成立，所以.

因为，，所以或.

当时，对有，所以，解得.又因为，得，则有；

当时，，则存在的极大值点，且.

由题意得，将代入得进而得到，得.

又因为，得.

综上可知t的取值范围是或.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．

21.已知，若矩阵所对应的变换把直线 变换为自身，求.

【答案】

【解析】

【分析】

首先在直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成，根据变换的性质列出方程组解出的值，再求即可.

【详解】设直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成.

则.

因为，所以.

所以，解得.

即.

设，

则，

所以.

即.

【点睛】本题主要考查矩阵变换的问题，同时考查了逆矩阵的求法，属于中档题.

22.已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为

（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；

（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出.

【详解】（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入计算，，＝，

∴点的直角坐标，由，得，

即，所以曲线的直角坐标方程为

（2）曲线的参数方程为（为参数），由（为参数），得直线的普通方程为.

设，则中点，那么点到直线的距离，

，

所以点到直线最小距离为.

【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

23.如图，在三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，、分别为、的中点.

（1）若，求直线与所成角的余弦值；

（2）若平面平面，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先取的中点，连接，以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，再代入公式计算即可.

（2）首先设，分别计算平面和平面的法向量，根据平面平面，法向量的数量积等于即可得到的长.

【详解】（1）取的中点，连接，则.

以为坐标原点，过且与平行直线为轴，为轴，

为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，.

，.

设直线，所成角为，

则.

所以直线，所成角的余弦值为.

（2）设，则，，.

设平面的法向量，

则，令，.

，，，.

设平面的法向量，

则，令，.

因为面平面，所以，

即，解得.

所以.

【点睛】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查面面垂直，向量法为解决本题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

24.已知数列满足，.

（1）求，，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）设， ，比较与的大小.

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先令，，计算，，根据，猜想，再用数学归纳法证明即可.

（2）将代入和，再化简与即可得到答案.

【详解】（1）当时，，解得.

当时，，解得.

猜想.

证明：①当时，，

②假设当时，，

则当时，，即.

所以，即也成立.

综上①②，；

（2），.

，.

所以.

【点睛】本题第一问考查数学归纳法求数列的通项公式，第二问考查指数幂的运算，同时考查学生的计算能力，属于中档题.