高考数学二轮专题复习之46分题专项练(五)

46分题专项练(五)

1．在条件①a＝3，点D在边AC上，BD⊥AC，BD＝，②△ABC的面积为，其外接圆的半径为，③b＝，点D为线段AC的中点，cos∠ABD＝中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，且________，求c.

2．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝4，a－(2an－1)an＋1－2an＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝an＋(2n－5)cos nπ(n∈N*)，求数列{bn}的前2n项和．

3．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C.

(1)证明：AO⊥平面BB1C1C；

(2)设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1­B1C1­B的余弦值．

4．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？……

某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人．

(1)最低录取分数是多少？(结果保留整数)

(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．

参考资料：(1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)．

(2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.

46分题专项练(五)

1．解：方案一：选择①，

在△ABC中，由正弦定理得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin(B＋C)＝2sin Acos B＋sin A＝0，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，

所以2cos B＋1＝0，即cos B＝－，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

由余弦定理得b2＝a2＋c2＋ac＝c2＋3c＋9.

因为BD⊥AC，所以S△ABC＝acsin＝b·BD，即×3×c＝b×，得b＝c，

所以＝c2＋3c＋9，得c＝5.

方案二：选择②，

在△ABC中，由正弦定理得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin(B＋C)＝2sin Acos B＋sin A＝0，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以2cos B＋1＝0，即cos B＝－，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

因为△ABC外接圆的半径为，所以由正弦定理得＝2×，解得b＝5，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得25＝a2＋c2＋ac，

又△ABC的面积为＝acsin B＝ac，得ac＝3，(*)

所以25＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝(a＋c)2－3，得a＋c＝2，(**)

由(*)(**)得c＝＋2或c＝－2.

方案三：选择③，

在△ABC中，由正弦定理得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos B＋sin(B＋C)＝2sin Acos B＋sin A＝0，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，

所以2cos B＋1＝0，即cos B＝－，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

因为cos∠ABD＝，

所以sin∠ABD＝＝，

在△ABD中，由正弦定理得＝，

所以c＝ADsin∠ADB.

又∠CBD＝－∠ABD，

所以cos∠CBD＝cos＝－cos∠ABD＋sin∠ABD＝－×＋×＝，sin∠CBD＝，

在△CBD中，由正弦定理得＝，

所以a＝CDsin∠CDB.

又AD＝CD，∠ADB＋∠CDB＝π，

所以sin∠ADB＝sin∠CDB，

所以3a＝2c.

在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，

即()2＝＋c2＋c2，得c＝3.

2．解：(1)由a－(2an－1)an＋1－2an＝0得

(an＋1－2an)(an＋1＋1)＝0，

因为an＋1＋1>0，所以an＋1＝2an，所以＝2.

所以{an}为首项为4，公比为2的等比数列，

所以an＝4·2n－1＝2n＋1.

(2)由题意得bn＝

则{bn}的前2n项和S2n＝22＋23＋…＋22n＋1＋2[(2－1)＋(4－3)＋…＋(2n－2n＋1)]＝＋2n＝22n＋2＋2n－4.

3．解：(1)证明：因为四边形BB1C1C是菱形，所以B1C⊥BC1.

因为AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，BC1，AB⊂平面ABC1，

所以B1C⊥平面ABC1，所以B1C⊥AO.

因为AB＝AC1，O是BC1的中点，所以AO⊥BC1，

又B1C∩BC1＝O，B1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以AO⊥平面BB1C1C.

(2)因为AB∥A1B1，所以直线A1B1与平面BB1C1C所成的角等于直线AB与平面BB1C1C所成的角．

因为AO⊥平面BB1C1C，所以直线AB与平面BB1C1C所成的角即∠ABO，

所以∠ABO＝45°.

不妨设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边三角形BB1C中，BO＝，CO＝B1O＝1，在Rt△ABO中，AO＝BO＝.

如图，以O为坐标原点，分别以OB，OB1，OA所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B1(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(－，0，0)，A(0，0，)，A1(－，1，)，＝(，0，－)，＝(－，－1，0)．

设平面A1B1C1的法向量为n1＝(x，y，z)，

则令x＝1，则y＝－，z＝1，可得n1＝(1，－，1)．

易知平面BB1C1C的一个法向量为n2＝(0，0，1)，

则cos〈n1，n2〉＝＝＝，

由图可知二面角A1­B1C1­B为钝二面角，所以二面角A1­B1C1­B的余弦值为－.

4．解：(1)设考生成绩为X，依题意X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)．

令Y＝，则Y～N(0，1)．

由360分及其以上的高分考生有30人，可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，亦即P＝0.985，

则＝2.17，解得σ≈83，

所以X～N(180，832)．

设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P＝，

P＝1－＝0.85，

所以＝1.04，

所以x0＝266.32.

即最低录取分数线为266分或267分．

(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取．

P(X<286)＝P≈P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.90＝0.10.因为2 000×0.1＝200，所以考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位．