高考数学二轮专题复习之46分题专项练(四)

46分题专项练(四)

1．下面给出有关△ABC的四个论断：

①S△ABC＝；②b2＋ac＝a2＋c2；③＝2或；④b＝.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程．

2.如图，扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°，PO⊥平面AOB，PO＝，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA∥平面MOC，AB与OC相交于点N.

(1)证明：平面MOC⊥平面POB；

(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．

3．由于疫情，学校推迟开学，所有学习改为线上，所以各种网上授课软件借此开拓市场，包括一些办公软件也加入这个行列，这其中有免费的，也有收费的．某教育机构的主管为了解决线上上课的问题，决定测试一下几款软件的性能．他一共下载了5款软件，其中有2款收费的，3款免费的，假设每款收费软件通过测试的概率为，免费软件通过测试的概率为.

(1)设X表示这5款软件通过测试的款数，求X的分布列；

(2)如果使用免费软件可以保证原来的班级学生数和相应的收益，但是如果使用收费软件，还可能带来更多的学生和收益，假设收费软件的收费标准是每节课300元，设可能增加的学生人数为Y，Y服从分布列：

现在每个学生的课时费为150元，请你帮他分析一下选择收费软件是否合适．

4．已知等差数列{an}满足a5＝4，2a6＋a9＝18，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn＝2bn－1.

(1)求{an}与{bn}的通项公式；

(2)若∀n∈N*，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(n－2)t＋2恒成立，求实数t的取值范围．

46分题专项练(四)

1．解：方案一：若①②③，则④.

由②得b2＝a2＋c2－ac，得cos B＝，即B＝60°.

由①S△ABC＝，得acsin B＝.又B＝60°，故ac＝2.

由③＝2或，得或解得或

故b2＝a2＋c2－ac＝4＋1－2＝3或b2＝a2＋c2－ac＝1＋4－2＝3，得b＝，④成立．

方案二：若①②④，则③.

由②得b2＝a2＋c2－ac，得cos B＝，即B＝60°.

由①S△ABC＝，得acsin B＝.又B＝60°，故ac＝2.

由④b＝及b2＝a2＋c2－ac，得a2＋c2－ac＝3，

从而(a＋c)2＝9，即a＋c＝3，由

得或故＝2或，③成立．

方案三：若①③④，则②.

由①S△ABC＝，得acsin B＝，

由③＝2或，不妨取＝2，得c2sin B＝，即sin B＝.

由④b＝及b2＝a2＋c2－2accos B，＝2，可得5c2－4c2cos B＝3，

从而cos B＝.

又sin2B＋cos2B＝1，得3c4－10c2＋7＝0，得c＝1或 ，

当c＝1时，得a＝2，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及b＝，得cos B＝，即B＝60°，即b2＝a2＋c2－ac成立，②成立；

当c＝时，得a＝2，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及b＝，得cos B＝，故B＝60°不成立，即b2＝a2＋c2－ac不成立，

②不成立．

方案四：若②③④，则①.

由②得b2＝a2＋c2－ac，得cos B＝，即B＝60°.

由④b＝及b2＝a2＋c2－ac，得a2＋c2－ac＝3.

由③＝2或，代入a2＋c2－ac＝3中得，

3c2＝3或3a2＝3，得c＝1，a＝2或a＝1，c＝2，

从而得acsin B＝，即S△ABC＝，①成立．

2．解：(1)证明：如图，连接MN，

因为PA∥平面MOC，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面MOC＝MN，

所以PA∥MN.

因为BM＝2MP，所以BN＝2NA.

因为OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，

所以AB＝2，所以BN＝，

又因为∠OBA＝30°，所以在△BON中，

由余弦定理得ON＝，所以ON2＋OB2＝BN2，

所以∠BON＝90°，所以ON⊥OB.

又因为PO⊥平面AOB，所以ON⊥OP.

因为OB∩OP＝O，所以ON⊥平面POB.

又因为ON⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面POB.

(2)由(1)得OC⊥OB，OP⊥OC，OP⊥OB，

以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，

则O(0，0，0)，P(0，0，)，A(，－1，0)，C(2，0，0)，M，

所以＝(0，0，)，＝(，－1，0)，＝(2，0，0)，

＝，

设平面POA的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则即

令x1＝1，得y1＝，z1＝0，所以n1＝(1，，0)．

设平面MOC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则即即

令z2＝1，得y2＝－，

所以n2＝(0，－，1)．

设平面POA和平面MOC所成二面角为θ，

则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

所以sin θ＝，

所以平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.

3．解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.

P(X＝0)＝C×××C×××＝；

P(X＝1)＝C×××C×××＋C×××C×××＝；

P(X＝2)＝C×××C×××＋C×××C×××＋C×××C×××＝；

P(X＝3)＝C×××C×××＋C×××C×××＋C×××C×××＝；

P(X＝4)＝C×××C×××＋C×××C×××＝；

P(X＝5)＝C×××C×××＝.

故X的分布列为

(2)由题意，我们可以求一下可能增加的学生人数的数学期望，即E(Y)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝≈2，所以根据现在的收费标准，差不多刚刚能抵消收费软件的费用，不仅如此，还能让原来的学生体验到更好的线上教育，同时也是一种口碑的积累，所以我们建议他选择收费软件．

4．解：(1)设数列{an}的公差为d，则解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝n－1.

对于数列 {bn}，当n＝1时，b1＝S1＝2b1－1，所以b1＝1.

当n≥2时，由Sn＝2bn－1，①

可知Sn－1＝2bn－1－1，②

①－②得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1.

故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1.

(2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.

由(1)知，当n＝1时，T1＝0.当n≥2时，Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－2)·2n－2＋(n－1)2n－1，③

2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－2)2n－1＋(n－1)2n，④

③－④，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)2n，

所以－Tn＝－(n－1)2n＝－(n－2)2n－2，

所以Tn＝(n－2)2n＋2.当n＝1时也符合该式，所以Tn＝(n－2)2n＋2.

故题中不等式可化为(n－2)2n≥(n－2)t，(*)

当n＝1时，不等式(*)可化为－2≥－t，t≥2.

当n＝2时，不等式(*)可化为0≥0，此时t∈R.

当n≥3时，不等式(*)可化为t≤2n，因为数列{2n}是递增数列，所以t≤8.

综上，实数t的取值范围是[2，8]．