高考数学二轮专题复习之24分题专项练(一)

24分题专项练(一)

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设Q(3，0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．

2．已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋x＋，a∈R，f′(x)为函数f(x)的导函数．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＝2时，证明：f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立．

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，且点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线m：x＝－2，过F点作垂直于l的直线与直线m交于点T，求的最小值和此时l的方程．

4．已知函数f(x)＝ln x＋2ax－x2，其中0<a<e.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)讨论函数f(x)零点的个数．

24分题专项练(一)

1．解：(1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，

由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F1B|，

所以|AF|＋|BF|＝|BF1|＋|BF|＝2a＝8，所以a＝4.

又解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，

联立得(4k2＋1)x2－16＝0，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，

因为∠AQB为锐角，所以·>0.

所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2

＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2

＝9－>0，

解得k>或k<－.

2．解：(1)f′(x)＝＋1－＝＝.

因为x>0，a∈R，

所以当a≥0时，x＋a>0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；

当－1<a<0时，0<－a<1，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，

在(－a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；

当a＝－1时，f′(x)＝≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a<－1时，－a>1，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．

(2)证明：当a＝2时，f(x)＝ln x＋x＋，f′(x)＝＋1－，

所以f(x)－f′(x)－x－＝ln x－＋－1.

令h(x)＝ln x－＋－1，x∈[1，2]，则h′(x)＝＋－＝.

令u(x)＝x2＋x－4，对称轴为直线x＝－，开口向上，则函数u(x)在[1，2]上单调递增，u(1)<0，u(2)>0，

所以存在唯一的x0∈(1，2)，使得u(x0)＝0，即h′(x)＝0.

所以当x∈(1，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，2)时，h′(x)>0.

所以函数h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增．

又h(1)＝0，h(2)＝ln 2－1<0，

所以h(x)max＝0，即f(x)－f′(x)≤x＋对任意的x∈[1，2]都成立．

3．解：(1)由题意可得解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，T(－2，0)，A，

B，此时＝.

当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

则Δ＝8(k2＋1)>0，x1＋x2＝－，x1·x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|＝.

由得所以T，所以|TF|＝，

所以＝＝>＝(因为1＋k2≠k2，所以无法取等号)．

综上，的最小值为，此时l的方程为x＝－1.

4．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}．

f′(x)＝(x－a)ln x＋·＋2a－x

＝(x－a)(ln x－1)，

令f′(x)＝0，得x＝a或x＝e.

因为0<a<e，所以当0<x<a或x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当a<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，(e，＋∞)，单调递减区间为(a，e)．

(2)由(1)可知f(x)在(0，a)上单调递增，又因为0<a<e，

因此，当x∈(0，a]时，f(x)>0，即f(x)在区间(0，a]上无零点．

下面讨论x>a的情况：

①当0<a<时，f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，

且f(a)>0，f(e)＝e<0，f(e2)＝e4>0.

根据零点存在定理，f(x)有两个不同的零点．

②当a＝时，由f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，且f(e)＝0得，此时f(x)有唯一的零点x＝e.

③若<a<e，由f(x)在(a，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，

f(x)≥f(e)＝e>0，此时f(x)无零点．

综上，若0<a<，f(x)有两个不同的零点；

若a＝，f(x)有唯一的零点x＝e；

若<a<e，f(x)无零点．