高考数学二轮专题复习之仿真模拟训练(一)

这是一份高考数学二轮专题复习之仿真模拟训练(一)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


仿真模拟训练(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{y|y＝ln(|x|＋1)}，则A∩B＝(　　)
A．[0，2) B.[0，2]
C．{0，1，2} D．{0，1}
2．若纯虚数z满足(1＋i)z＝1－ai(i是虚数单位，a∈R)，则在复平面内对应的点为(　　)
A．(0，－1) B.(1，0)
C．(0，1) D．(0，2)
3．设a＝0.30.2，b＝0.20.3，c＝log0.21.03，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B.c＞a＞b
C．c＞b＞a D．b＞a＞c

4．如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为(　　)

A．y＝xln(x＋1)
B．y＝2xcos(2x－1)
C．y＝(2x＋1)2
D．y＝2x－1sin
5.

在我国著名的典籍《易经》中，八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳(阳爻)，用“”代表阴(阴爻)，用这两种符号按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式，称为八卦．分别是乾()、坎()、艮()、震()、巽()、离()、坤()、兑()．从八卦中任取两卦，则所取两卦中含有的阳爻和阴爻总数相同的概率为(　　)
A. B.
C． D．
6．“a≤8”是“不等式2x－a＋≥0对任意x∈[2，＋∞)恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知抛物线C：y＝a2x2的焦点和双曲线－x2＝1的一个焦点重合，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0，5)距离的最小值为(　　)
A．2 B.2
C．5 D．2
8．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω＞0)，给出下列判断：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2；
②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；
④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.
其中正确的是(　　)
A．①② B.③④
C．②④ D．②③④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则(　　)
A．A＝256
B．A＋B＝260
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x2项的系数为54
10．疫苗的研制需要经过临床试验阶段，抗体产生的初次应答和再次应答两个阶段都需经过一定的潜伏期，潜伏期长短与抗原的性质有关．疫苗经5～7天，类毒素在2～3周后，血液中才出现抗体，初次应答所产生的抗体量一般不多，持续时间也较短，从抗体出现的种类来看，IgM(免疫球蛋白M)出现最早，但消失也快，在血液中只维持数周至数月．IgG(免疫球蛋白G)出现稍迟于IgM，当IgM接近消失时，IgG达到高峰，它在血液中维持时间可达数年之久．当第二次接受相同抗原时，机体可出现再次反应，开始时抗体有所下降，这是因为原有抗体被再次进入的抗原结合所致．下图是某种疫苗试验得到的有关测试数据绘制出的图形，则下列关于该图形的说法正确的是(　　)

A．初次抗原刺激阶段，在10天内试验个体对抗原刺激不够灵敏，产生IgG的浓度比较低
B．初次抗原刺激阶段，IgG峰值出现早于IgM峰值
C．再次抗原刺激阶段，总抗体量大概8天左右达到峰值，且潜伏期比初次抗原刺激阶段要短
D．在试验的两个阶段IgG的峰值出现比IgM出现早，但IgG消失也快
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(，0)，离心率为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的标准方程为－＝1
B．双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同
C．若·＝0，则△PFO的面积为
D．|PF|≥
12．在边长为2的等边△ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，DE∥BC 且＝λ(0<λ<1)，将△ADE沿DE向上折起到△A′DE位置，在折起的过程中，下列结论成立的是(　　)
A．在边A′E上不存在点F，使得在折起的过程中，BF∥平面A′CD
B．存在λ∈，使得在折起过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCDE
C．当λ＝且二面角A′DEB为直二面角时，A′B＝
D．在折起的过程中，四棱锥A′­BCDE的体积的最大值记为f(λ)，则f(λ)的最大值为

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案












三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若非零向量a，b满足〈a，b〉＝，|a|＝，|a＋2b|＝，则|b|＝________．
14．已知P是圆x2＋y2＝1上一动点，弦AB是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的一条动直径，则·的取值范围是________．
15.

如图，在四棱锥P­ABCD中，AP＝1，矩形ABCD的周长为8，当三棱锥A­PCD的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为________．
16．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，数列{bn}满足bn＝－1.若数列的前n项和为Sn，则使得|Sn－1|<成立的n的最小值为________．



四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)在①ccos A＋acos C＝2bcos B，②a2＋c2－b2＝ac，③2cos2－3cos B＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足________．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求△ABC面积的最大值．






18．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且(an，2Sn)在函数y＝x2＋x－2的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2.












19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，四边形BDEF为正方形，EF上一点G在底面内的射影为点A，点M，N分别为CE，BC的中点，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°.

(1)求证：MN∥平面BDFF；
(2)求证：BD⊥平面CDE；
(3)求BD与平面BCG所成角的正弦值．






20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线m：x－y＋1＝0经过椭圆C的上顶点，直线n：x＋1＝0交椭圆C于A，B两点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线l：x＋4＝0于Q，R两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：·(O为坐标原点)为定值．










21．(本小题满分12分)2020年4月21日至23日，国家主席习近平到陕西考察．总书记实地了解平利县老县镇中心小学复学复课情况，并叮嘱加强学校重点场所消毒，为复学复课提供安全的环境．在做好防疫的前提下，开展体育运动，增强学生体质．已知某中学生体育活动情况调查咨询机构开展中学生身体素质调查，调查了高一和高三男生(共2 000人，其中高三男生1 000人)引体向上体育项目测试情况，并对数据作了统计分析，并将样本数据(单位：个)分为[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，将抽取的高一的样本数据绘制成频率分布直方图如下图所示，将高三男生的测试数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布．


(1)现规定，引体向上的个数不低于13的为“体育达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有99.9%的把握认为是否为“体育达人”与年龄有关？

“体育达人”
非“体育达人”
总计
高三男生



高一男生



总计



(2)①利用样本平均数和中位数估计高一男生引体向上(单位：个)的平均数和中位数；
②由频率分布直方图可以认为，高一男生引体向上数Z(单位：个)近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)，σ的值约为3.64.现从该高一男生中随机抽取5人，记其中引体向上数Z位于(4.88，15.8)的人数为X，求X的数学期望．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.





22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－x－ln x.
(1)当a＝2时，求函数的最小值；
(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求正实数a的取值范围．





第三部分　仿真模拟训练
仿真模拟训练(一)
1．解析：选D.因为A＝{x∈Z|x2＜4}＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝ln(|x|＋1)}＝[0，＋∞)，所以A∩B＝{0，1}．故选D.
2．解析：选C.由题意得z＝＝＝－i，又复数z为纯虚数，所以a＝1，所以z＝－i，＝i，所以在复平面内z对应的点为(0，1)．故选C.
3．解析：选A.因为c＝log0.21.03＜0，a＝0.30.2＞0.30.3＞0.20.3＝b＞0，所以a＞b＞c.故选A.
4．解析：选B.结合图象得到当x＝0，y∈(0，1)，故排除选项A，C；对于选项D，y＝2x－1sin＝2x－1cos 2x，当x＝1时，y＝cos 2＜0，排除选项D.故选B.
5．解析：选C.从8卦中任取两卦，共有28种取法，其中阳爻和阴爻数目相同的共有10种，所以概率为，故选C.
6．解析：选A.“不等式2x－a＋≥0对任意x∈[2，＋∞)恒成立”等价于“a≤2x＋”，等价于“a≤”．因为2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝10(当且仅当x＝3时，“＝”成立)，所以a≤10，所以“a≤8”是“不等式2x－a＋≥0对任意x∈[2，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．故选A.
7．解析：选B.因为双曲线－x2＝1的一个焦点为(0，2)，由题意，得＝2，则a2＝，所以x2＝8y.设P(x，y)，则|PA|＝＝＝＝，所以当y＝1时，|PA|min＝2.故选B.
8．解析：选B.因为f(x)＝sin 2ωx＋－＝sin，所以周期T＝＝.对于①，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故①错误；对于②，函数图象右移个单位长度后得到的函数为
y＝sin，若其图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0，2)，所以②错误；对于③，由条件得－≤2π<－，解得≤ω<，故③正确；对于④，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故④正确．故选B.
9．解析：选ABD.令x＝1，得的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，选项A正确；的展开式中第二项的二项式系数为C＝4，所以B＝4，A＋B＝260，选项B正确；的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x2)4－r＝34－rCx8－3r，令8－3r＝0，则r＝，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数是34－2C＝54，选项D正确．
10．解析：选AC.根据试验图形，对于选项A，初次抗原刺激阶段，潜伏期大概10天，且在该时期内IgM和IgG的浓度比较低，因而选项A正确；对于选项B，IgG峰值出现晚于IgM的峰值，且消失较晚，因而选项B错误；对于选项C，结合图形，总抗体量峰值大概8天左右出现，且潜伏期比初次抗原刺激阶段大大缩短，因而选项C正确；对于选项D，在试验的两个阶段IgG的峰值出现比IgM出现晚，但IgG消失也慢，因而选项D错误．故选AC.
11．解析：选ABD.对于选项A，结合题意，解得a2＝4，b2＝2，所以双曲线C的标准方程为－＝1，所以选项A正确；对于选项B，它们的渐近线都是y＝±x，因而它们的渐近线相同，选项B正确；对于选项C，得到PO⊥PF，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在y＝x上，则直线PF的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，联立方程组解得故点P，所以△PFO的面积为S＝××＝，故选项C错误；对于选项D，因为点F(，0)，其中一条渐近线的方程为y＝x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为d＝，所以选项D正确．故选ABD.
12．解析：选ACD.对于A，假设在线段A′E存在点F，使得BF∥平面A′CD，如图1，因为BF⊂平面A′BE，且平面A′BE∩平面A′CD＝AA′，由线面平行的性质可得BF∥A′A，但在平面A′BE内，BF，A′A是相交的，故假设错误，即在边A′E上不存在点F，使得在折起的过程中，BF∥平面A′CD，故A正确；

对于B，如图2，假设存在λ∈，使得在折起过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCDE.取BC的中点I，连接AI交DE于点H，当平面A′BC⊥平面BCDE时，∠A′IH＝90°，所以A′H>HI，所以λ＝＝＝>，所以B错误；
对于C，如图3，当二面角A′­DE­B为直二面角时，易知A′H⊥平面BEDC，连接HB，由λ＝，可求A′H＝HI＝，HB＝，所以A′B＝，所以C正确；

对于D，如图4(仍取BC，DE的中点分别I，H，连接IA，A′H，A′B，A′C)，作A′在底面CBED上的射影O，则O在IH上．因为＝λ，BC∥DE，所以＝λ且＝λ，所以A′H＝λ，DE＝2λ.又VA′­CBED＝××(DE＋CB)×IH×A′O＝(2λ＋2)×(1－λ)×A′O≤(2λ＋2)×(1－λ)×λ＝－λ3＋λ，令f(λ)＝－λ3＋λ，λ∈(0，1)，则f′(λ)＝－3λ2＋1，当λ∈时，f′(λ)＞0；当λ∈时，f′(λ)＜0.所以f(λ)在上单调递增，在上单调递减，故f(λ)max＝f＝.故D正确．故选ACD.
13．解析：将|a＋2b|＝两边平方，得a2＋4a·b＋4b2＝7，即3＋4××|b|×cos ＋4|b|2＝7，即2|b|2＋3|b|－2＝0，即(|b|＋2)(2|b|－1)＝0，
解得|b|＝.
答案：
14．解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－9，则P是圆x2＋y2＝1上一动点，圆心C的坐标为(3，4)，所以||∈[4，6]，所以·的取值范围是[7，27]．
答案：[7，27]
15．解析：不妨设AD＝a，DC＝b，要使得三棱锥A­PCD体积最大，则三角形ADC面积最大且AP⊥底面ADC.由题可知a＋b＝4且AD⊥DC，故S△ADC＝ab≤×(a＋b)2＝2，当且仅当a＝b＝2时取得最大值．综上所述，要满足题意，则需AP⊥平面ADC，且AD＝DC＝2，此时该三棱锥的外接球半径R＝＝，所以其外接球的表面积为S＝4π＝9π.
答案：9π
16．解析：易知an≠0，由an＋1＝可得＝－1，于是－1＝－2＝2，因为＝3，且bn＝－1，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2×2n－1＝2n，＝，所以Sn＝＝1－.由|Sn－1|＜得＜，得2n＞1 000.因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，所以使得|Sn－1|＜成立的n的最小值为10.
答案：10
17．解：方案一：若选条件①：
(1)因为ccos A＋acos C＝2bcos B，由正弦定理，得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin Bcos B，
即sin(A＋C)＝2sin Bcos B.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，得sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
即sin B＝2sin Bcos B．又B∈(0，π)，所以cos B＝，所以B＝.
(2)因为b＝，由余弦定理得b2＝3＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c时等号成立)，
结合三角形的面积公式得S△ABC＝acsin B≤×3×＝，
所以该三角形面积的最大值为.
方案二：若选条件②：
(1)结合余弦定理得cos B＝＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由b＝，结合余弦定理得b2＝3＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c时等号成立)，结合三角形的面积公式得S△ABC＝acsin B≤×3×＝，所以该三角形面积的最大值为.
方案三：若选条件③：
(1)因为2cos2－3cos B＝0，所以1＋cos B－3cos B＝0，所以cos B＝.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由b＝，结合余弦定理得b2＝3＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c时等号成立)，结合三角形的面积公式得S△ABC＝acsin B≤×3×＝，所以该三角形面积的最大值为.
18．解：(1)结合条件将点(an，2Sn)代入函数解析式得a＋an＝2Sn＋2，①
当n＝1时，a＋a1＝2a1＋2，解得a1＝－1(舍)，a1＝2；
当n≥2时，a＋an－1＝2Sn－1＋2.②
结合①②，化简得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝1，
所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
(2)证明：结合(1)，得Sn＝na1＋×1＝，
所以bn＝＝＝2，
所以Tn＝2＋2＋2＋…＋2＝2－＜2.
19．解：(1)证明：连接BE(图略)，在△BCE中，因为点M，N分别为CE，BC的中点，所以MN∥BE.
又MN⊄平面BDEF，BE⊂平面BDEF，所以MN∥平面BDEF.
(2)证明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°，
所以∠BAD＝∠CDA＝120°，∠ADB＝30°，所以∠CDB＝90°，所以BD⊥DC，BD＝＝.
又因为四边形BDEF为正方形，所以BD⊥DE，又DE∩CD＝D，DE，CD⊂平面CDE，
所以BD⊥平面CDE.
(3)结合(2)知，

以点D为坐标原点，分别以直线DB，DC为x轴、y轴，以与过点D且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
则A，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．
因为GA⊥平面ABCD，连接GD，GB，又AD＝AB，易得GB＝GD，所以GE＝GF.
因为EF＝BD＝，所以GF2＋BF2＝AG2＋AB2，
所以AG＝，所以点G的坐标为，
所以＝(－，1，0)，＝，＝(－，0，0)．
设平面BGC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
所以
即
解得
令x＝，则y＝3，z＝，
所以平面BGC的一个法向量为n＝.
设BD与平面BCG所成角为θ，
所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝，
所以BD与平面BCG所成角正弦值为.
20．解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，点(0，b)在直线m：x－y＋1＝0上，得b＝1.
又因为＝，b2＋c2＝a2，a>0，所以a＝2，c＝，
所以所求椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，A(－1，t)，B(－1，－t)，则有x＋4y－4＝0.
直线AP的方程为y－t＝(x＋1)．令x＝－4，整理得yQ＝.
同理可得点R纵坐标yR＝，
所以点Q，R的纵坐标之积yQ·yR＝·＝.
又因为y＝1－x，t2＝，
所以yQ·yR＝
＝＝－3，
所以·＝(－4，yQ)·(－4，yR)＝16＋yQ·yR＝13，即·(O为坐标原点)为定值．
21．解：(1)填写列联表如下：


“体育达人”
非“体育达人”
总计
高三男生
520
480
1 000
高一男生
400
600
1 000
总计
920
1 080
2 000
所以K2的观测值k＝≈28.986＞10.828，
所以有99.9%的把握认为是否为“体育达人”与年龄有关．
(2)①样本平均数为
x＝4×0.04＋6×0.06＋8×0.10＋10×0.10＋12×0.30＋14×0.20＋16×0.10＋18×0.08＋20×0.02＝12.16.
由前4组的频率之和为0.04＋0.06＋0.10＋0.10＝0.30，
前5组的频率之和为0.30＋0.30＝0.60，
知样本中位数落在第5组，设样本中位数为t，则(t－11)×0.15＝0.50－0.30，所以t＝.
故可以估计高一男生引体向上的平均数为12.16，中位数为.
②(μ－2σ，μ＋σ)＝(4.88，15.8)，
而P(μ－2σ＜Z≤μ＋σ)＝P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.818 6，
所以X～B(5，0.818 6)，
所以X的数学期望为E(X)＝5×0.818 6＝4.093.
22．解：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且当a＝2时，
f(x)＝x2－x－ln x，则f′(x)＝2x－1－＝，
所以当01时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x＝1时取得极小值即最小值，
且最小值为f(1)＝1－1－ln 1＝0.
(2)因为f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝ax2－x－1，因为a>0，所以Δ＝1＋4a>0，所以方程h(x)＝0有两个不等实数根，设为x1，x2(x1 又因为h(0)＝－1<0，所以x1<00，即在(0，x2)上f′(x)<0，在(x2，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)最小值为f(x2)＝ax－x2－ln x2，
因为ax－x2－1＝0，所以ax＝x2＋1，所以f(x2)＝－x2－ln x2＋，令m(x)＝－x－ln x＋，
所以m′(x)＝－－＜0，从而函数m(x)在(0，＋∞)上单调递减，
且m(1)＝0，所以对x∈(1，＋∞)，m(x)<0，x∈(0，1)时，m(x)>0，
当a>2时，因为ax＝x2＋1，所以x2∈(0，1)，
所以f(x2)>0，所以a>2，此时函数无零点，不合题意．
当a＝2时，函数f(x)有一个零点x＝1；
当01，则f(x2)<0，结合f＝－＋1>0，则需证明存在x0>x2时，使得f(x0)>0即可，因为ln x≤x－1(构造μ(x)＝ln x－x＋1易证明)，
所以f(x)＝－x－ln x≥－x－(x－1)＝－2x＋1＞－2x＝ax，则x>时，ax＞0，即存在x0>
使得f(x0)>0，故当0 综上，实数a的取值范围为(0，2)．