高考数学二轮专题复习之小题分类练(二)　数学运算

小题分类练(二)　数学运算

一、单项选择题

1．(一题多解)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{－2，3}　　　　　　　 B.{－2，2，3}

C．{－2，－1，0，3}  D．{－2，－1，0，2，3}

2．若sin＝－，且α∈，则tan(π－α)＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S3＝－6，则S5＝(　　)

A．18  B.10

C．－14  D．－22

4．设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则E(X)＝(　　)

A.  B.

C．2  D．1

5．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则＋的最小值为(　　)

A．2  B.2

C．4  D．2

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为(　　)

A．(－3，3)  B.(－11，4)

C．(4，－11)  D．(－3，3)或(4，－11)

7．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A.  B.a

C.  D．a

8．(2020·合肥模拟)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为(　　)

A.  B.

C.  D．2

二、多项选择题

9．已知双曲线M：－＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)

A．M的离心率为

B．M的标准方程为x2－＝1

C．M的渐近线方程为y＝±x

D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点

10．已知|a|＝1，|b|＝，且|a＋2b|＝，则有(　　)

A．(a＋b)⊥(a－b)

B．a·b＝－

C．向量a与b的夹角为150°

D．a在b方向上的投影为

11．若(1－ax＋x2)4展开式中x5的系数为－56，则下列结论正确的是(　　)

A．a的值为－2

B．展开式中各项系数和为0

C．展开式中x的系数为4

D．展开式中二项式系数最大为70

12．(一题多解)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2，且ccos B＋bcos C－2acos A＝0，则(　　)

A．A＝  B.C＝

C．a＝  D．c＝2

三、填空题

13．设向量a＝(m，1)，b＝(1，m)，如果向量a与b共线且方向相反，则m的值为________．

14．已知m>0，n>0，log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，则log2－log4n＝________．

15．已知在等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.令bn＝，则数列{bn}的前20项和为________．

16．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线y＝b与C的右支相交于点P，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线C的离心率为____________；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则双曲线的方程为__________．

小题分类练(二)

1．解析：选A.方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.

方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.

2．解析：选A.由sin＝cos α＝－，且α∈，

得sin α＝ ＝，

所以tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝.

3．解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，由题意，得解得所以S5＝＝－22，故选D.

4．解析：选A.因为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝，所以P(X＝0)＝，即(1－p)2＝，解得p＝.所以E(X)＝2p＝.故选A.

5．解析：选C.因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时等号成立．所以＋的最小值为4.故选C.

6．解析：选C.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故或

当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.

7.

解析：选B.根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系P­xyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)．

过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

因为PA＝PB＝PC，所以H为△ABC的外心．

又因为△ABC为正三角形，所以H为△ABC的重心，

可得点H的坐标为.

所以|PH|＝＝a.

所以点P到平面ABC的距离为a.

8．解析：选C.圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1，0)，则|OM|＝1，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.

9．解析：选ACD.依题意，a2＋b2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，所以两条渐近线的倾斜角分别为30°与150°.因为a>b>0，所以＝，所以所以ACD正确，B错误．故选ACD.

10．解析：选AC.因为|a|＝1，|b|＝，所以(a＋b)·(a－b)＝3a2－b2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故A正确；由|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝7，得a·b＝－，则B错误；设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝150°，故C正确；a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－，故D错误．

11．解析：选BD.(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5的项为CC·(－ax)3x2＋CC(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.则(1－ax＋x2)4＝(x－1)8，则展开式中各项系数和为0，展开式中x的系数为C(－1)7＝－8，展开式中二项式系数最大为C＝70，故选BD.

12．解析：选AB.通解：由正弦定理知，ccos B＋bcos C－2acos A＝0可化为sin Ccos B＋sin Bcos C－2sin A·cos A＝0，即sin(B＋C)－2sin Acos A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A>0，所以cos A＝.又0<A<π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋42－2×2×4×＝12，所以a＝2.由正弦定理得＝，则sin C＝＝＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.故选AB.

优解：由三角形的射影定理可知ccos B＋bcos C＝a，所以ccos B＋bcos C－2acos A＝0可化为a－2acos A＝0，因为a≠0，所以cos A＝.又0<A<π，所以A＝.由b＝2，S△ABC＝bcsin A＝2，得c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋42－2×2×4×＝12，所以a＝2.由正弦定理得＝，则sin C＝＝＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.故选AB.

13．解析：因为a与b共线且方向相反，由共线向量定理可设a＝λb(λ<0)，即解得m＝±1，由于λ<0，所以m＝－1.

答案：－1

14．解：由题意，设log4m＝log8n＝log16(2m＋n)＝k，则m＝4k，n＝8k，2m＋n＝16k，则2×4k＋8k＝16k，则2×＋＝1，即2×＋－1＝0，解得＝或＝－1(舍去)．所以＝＝＝.则log2－log4n＝log2－log2＝log2＝log2＝－.

答案：－

15．解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意得解得所以Sn＝na1＋d＝6n－n(n－1)＝7n－n2，所以＝|7－n|，所以数列{bn}的前20项和为6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋13＝112.

答案：112

16．解析：把y＝b代入C的方程可得x＝±2a，由P在双曲线右支上得P(2a，b)，易知F1(－c，0)，F2(c，0)，

由双曲线的定义及|PF1|＝2|PF2|可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

所以＝4a，＝2a，

整理可得8ac＝12a2，所以2c＝3a，

所以双曲线的离心率e＝＝.

由该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，可得b＝，所以＝＝，解得a＝2，所以双曲线的方程为－＝1.

答案：　－＝1