2021届安徽省滁州市定远县高三上学期第二次联考 理科数学试题（Word版，含答案解析）

2021届安徽省滁州市定远县高三上学期第二次联考

理科数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，再根据交集的概念，即可得出结果.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：B.

2．已知，，则：（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即得结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故：，.

故选：D.

3．化简：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量加减法运算性质即可得出．

【详解】解：

．

故选：．

4． （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．

【详解】解：

．

故选：．

5．已知平面向量，，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可.

【详解】因为，所以，即，又，，故，解得.

故选：B.

6．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在中，由正弦定理可得：得，

解得：，

因为，所以，所以，

故选：C

7．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据诱导公式即可求解．

【详解】解：因为，，

所以，

所以．

故选：．

8．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值．

【详解】解：设扇形的半径为，则弧长，

又因为扇形的面积为，

所以，

解得，

故扇形的周长为．

故选：．

9．若角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用任意角三角函数的定义求和，再利用二倍角的余弦公式计算即可.

【详解】由角的终边过点知，，，故.

故选：D.

10．在梯形中，已知，，点在线段上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形结合平面向量的线性运算即可得解.

【详解】因为，，

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用及用基底表示向量，考查了运算求解能力，属于基础题.

11．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，分析可得为奇函数，可以排除D，进而分析可得区间上有，在区间上有，排除B、C，即可得答案.

【详解】根据题意，，，

有，即函数为奇函数，排除D，

在区间上，，，则有，

在区间上，，，则有，排除B、C，

故选：A.

【点评】

本题考查函数的图象分析，注意利用排除法分析，属于基础题.

12．已知图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图所示，图中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，，，，，是其中四个圆的圆心，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.

【详解】解：如图所示,建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60°,

∴,,

∴.

故选：A.

二、填空题

13．已知平面向量，，若，则实数__________.

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标表示，由题中条件列出等式求解，即可得出结果.

【详解】因为向量，，若，

则，解得.

故答案为：.

14．已知在中，点，分别在边上，，且，，若，则的值为__________.

【答案】

【分析】利用向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.

【详解】，

因为，

所以，，所以，

故答案为：

15．若，，则__________.

【答案】

【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求，的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以，

所以，，

则．

故答案为：．

16．已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】在坐标平面中画出的图象，动态分析的图象后可得实数的取值范围.

【详解】当时，，令，

则，故此时的图象为圆的一部分，

在坐标平面中画出的图象如下：

因为关于的方程有三个不同的实数根，

所以的图象与的图象有3个不同的交点.

当时，的图象与的图象无交点，舍；

当时，的图象的左边的射线与的图象有一个交点，

当射线与相切时，设切点为，

则，故，.

当射线过时，，

当与圆相切时，

有，故.

因为，故当的图象与的图象有3个不同的交点时，

有或.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：（1）对于较为复杂的函数方程，知道零点的个数求参数的取值范围时，可将方程转化为简单函数的图象交点个数来讨论.

（2）刻画函数图象时，注意结合解析式的特征来考虑，特别是带有根号的函数，其图象往往和圆、椭圆、双曲线等有关.

（3）不同图象临界位置的刻画，可借助导数的几何意义来计算.

三、解答题

17．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，化简整理即可得出．

（2）由余弦定理，可得，化简整理即可得出的值．

【详解】解：（1）因为

由正弦定理，可得

又据为锐角知，

所以

又因为为锐角

所以

（2）据（1）求解知，

又，

所以

所以（舍）或

18．已知，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．

（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．

【详解】（1）因为，

所以

又因为，

所以

所以

（2）因为，

所以

所以

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．

19．已知函数在与处均取得极值.

（1）求实数，的值；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）先对函数求导，根据极值点，列出方程求解，即可得出，，再检验，即可得出结果；

（2）根据（1）的结果，由（2）中条件，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为

所以

因为函数在与处均取得极值

所以

所以，

此时，

由得或；由得；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

因此在上取得极大值，在上取得极小值，符合题设；

即所求实数，的值分别是，；

（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

若函数在区间上单调递减，

则

所以，

即所求实数的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

由函数极值（极值点）求参数时，一般需要对函数求导，根据极值的定义，结合题中条件，列出方程求解，即可得出结果.（求出的结果要，要注意进行检验）

20．已知函数的图像上相邻的两个最低点的距离为.

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间.

【详解】（1）

又因为图象上相邻的两个最低点间的距离为，，

所以，

解得.

（2）据（1）求解知，

令，

所以，

所以所求的单调递增区间是.

【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：

（1）利用降幂、升幂公式将化为的形式；

（2）构造；

（3）和差公式逆用，得 (其中为辅助角，)；

（4）利用研究三角函数的性质；

（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

21．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，，.

（1）求外接圆的半径；

（2）求周长的取值范围.

【答案】（1）2；（2）.

【分析】（1）由，利用正弦定理、和差公式可得，再利用正弦定理即可得出外接圆的半径．

（2）由，可得：，．可得．，利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

【详解】（1）因为

所以

所以

所以

又因为

所以

又

所以

又因为

所以

又因为

所以外接圆半径

（2）据题设知，

所以，

又，

所以

因为是锐角三角形，且

所以

解得

所以

所以

即周长的取值范围是

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

22．已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数有两个极值点，且，求证:.

【答案】（1）讨论见解析（2）证明见解析

【分析】（1）首先确定函数的定义域和导函数；令，当可确定，得到函数在定义域内单调递减；当时，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到函数的单调性；

（2）令，得到，可知是方程在上的两根，结合二次函数性质和韦达定理可确定，由此可将所证不等式转化为证明当时，；即证，令，通过导数可求得，进而证得结论.

【详解】（1）由得：    定义域为

令，则

①当，即时，则，即    在上单调递减

②当，即时，令，解得：，

⑴当时，

当和时，，即；当时，，即

在，上单调递减；

在上单调递增

⑵当时，

当时，，即；当时，，即

在上单调递增，在上单调递减

（2）令

则

有两个极值点    是方程在上的两根

对称轴为   

又    ，又   

要证，

即证：时，，，

令，则

当时，    在上单调递增

，故原不等式得证

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、不等式的证明等问题；证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为函数最值的求解问题，通过函数最值推导得到结论，属于较难题.