辽宁省葫芦岛市2021届高三下学期5月第二次模拟考试数学（含答案）

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注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x24x≤0}，则A∪B＝
A．[2,4] B．[2,0] C．[0,3] D．[4,3]
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 (i是虚数单位)，则|z|＝
A．1 B.eq \r(2) C. eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
3．若两直线l1：(a1)x3y2＝0与l2：x(a+1)y+2＝0平行，则a的值为
A．2 B．2 C．2 D．0
4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylr Brk)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数,并建立了如下指数函数公式：
SKIPIF 1 < 0
其中x∈R,n∈N, SKIPIF 1 < 0 ，特别地， SKIPIF 1 < 0 .用上述公式估计 SKIPIF 1 < 0 的近似值. 下列最适合的为（精确到0.01）
A. 1.25 B. 1.26 C. 1.28
5．设a＝0.50.6，b＝lg0.53，c＝0.60.5，则
A．b6. 已知随机变量X满足E(2X1)=3,D(2X1)=4,则
A. E(X)=2, D(X)=eq \f(5,4) B. E(X)=1, D(X)= eq \f(5,4)
C. E(X)=eq \f(3,2), D(X)=1 D. E(X)=2 , D(X)=1
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男、子、伯、侯、公．现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是
A. eq \f(1,8) B. eq \f(1,7) C. eq \f(1,6) D. eq \f(1,5)
8．在△ABC中，点P满足2eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为
A. 3 B. 3eq \r(2)C. 1 D. eq \f(1,3) QUOTE
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)
9．随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长. 某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列. 则下列说法正确的是
A. 身高在[130，140]范围内的频率为0.18
B. 身高的众数的估计值为115cm
C. 身高的中位数的估计值为125cm
D. 身高的平均数的估计值为121.8cm
10. 将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移m个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值可能为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
11.设函数f (x)＝eq \f(x＋e|x|,x)，则下列选项正确的是
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的图象关于点(0,1)对称
C．f (x)的最小值为e＋1
D．若 eq \f(f (x),f (x)1)=k有两个不等实根，则1 eq \f(1,e)12. 在四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，直线AB，CD所成的角为60°，AB＝CD＝4 eq \r(3),
AC＝4，则四面体ABCD的外接球表面积为
A. eq \f(160\r(5), 3) B. 52 C. 80 D. 208
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若tan=k，为钝角，则sin的值为_________ (用k表示) .
14. 迎春杯数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是 .
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
16．已知抛物线G：x2＝4y，过点P SKIPIF 1 < 0 向抛物线G作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
设公比为整数的等比数列{an}满足a2＋a3＝30，a2-a1＝4.
（1）求{an}的通项公式;
（2）令bn= lg5an ,记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sm-1Sm＝bmSm+1(m≥2)，求m的值.
18. （本小题满分12分）
在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 , a>b.
再从条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ．中选择一个作为己知补充到题中.求：
（1）a及sinA的值;
（2） SKIPIF 1 < 0 的面积．
19. （本小题满分12分）
习近平总书记强调：要始终践行“绿水青山就是金山银山”发展理念. 植树造林、保护森林，是每一位适龄公民应尽的法定义务. 某地区园林局为响应国家号召，分别在M，N两块不同土质的土地上栽种A品种树苗各10000株. 2年后，为了弄清楚树苗的成活情况与土质是否有关，分别在M，N两块土地上随机抽取树苗各100株，共计200株作为样本，其中树苗在M地块上成活95株，在N地块上成活85株.
(1) 完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A品种树苗成活与两块地土质有关；
附：χ2= eq \f(n(ad-bc)2,(a+b)(c+d) (a+c)(b+d))
（2）经过对M地块所抽取的样本数据统计研究发现，2年后成活的树苗的高度X(单位：cm)近似服从正态分布N(185,100),根据园林局技术部门提供指标，在同样种植条件下（土质情况除外），若2年后树苗高度低于165cm和不成活的总数量达到715株以上，则M地块不符合栽种标准，后期将不被用来栽种A品种树苗，试估计M地块是否符合栽种标准，并说明理由.
附：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
20. （本小题满分12分）
如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB＝4eq \r(3)，BC＝4，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．
（1）若M为线段AE的中点，证明：平面BDM∥平面CEF;
M
A
B
C
D
E
F
（2）若BF= eq \r(13)，求直线MF与平面BFED所成角的正弦值．
21. （本小题满分12分）
已知椭圆G: eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过A (0，4)，B（ eq \r(5),2 eq \r(3)）两点，直线l交椭圆G于M，N两点．
（1）求椭圆G的标准方程;
（2）若直线l过点F，是否存在常数t，使得t eq \\ac(\s\up6(→),OM)· eq \\ac(\s\up6(→),ON)+ eq \\ac(\s\up6(→),FM)· eq \\ac(\s\up6(→),FN)为定值，若存在，求t的值及定值；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
已知函数f(x) = eq \f(1+lnx,x).
（1）求f(x)在x=1处的切线方程;
（2）当xe时，不等式f(x) eq \f(k,x+e)恒成立，求实数k的取值范围;
（3）求证：27…(n22) >e2n-5 (n2且nN*).
2021年葫芦岛市普通高中高三第二次模拟考试
数 学
参考答案及评分标准
一、单项选择题： ABAC ADBA
二、多项选择题：9.ABD 10. BD 11.BD 12.CD
三、填空题： 13.- eq \f(k,\r(1+k2)) (- eq \f(k\r(1+k2),1+k2)亦可) 14. 甲 15. 32 16. 13
四、解答题
17.(本小题满分10分)
解：根据题意得：
（1） SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 …………………………………………3
SKIPIF 1 < 0 ……………………………………………………………………………………5
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ……………………………………………………7
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 …………………………………………………………10
18.（本小题满分12分）
选择条件①
（1）由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (a>b）………………………………………………………………………………3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ………………………………………………6
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ………………………………………………………9
SKIPIF 1 < 0 ………………………………………………12
选择条件②：
（1） SKIPIF 1 < 0 ……………………………………………………4
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 …………………………………………………………………………6
（2）由 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ……………………………………………………………………9
SKIPIF 1 < 0 ……………………………………………12
19. （本小题满分12分）
(1) χ2＝eq \f(200902575102,165×35×100×100)≈5.556＞3.841，所以有95%的把握认为A种植物成活与土地情况有关…………………………………………………………………………………………3
……………………6
（2）由表中可知，不成活的概率为p=0.05，估计不成活的数量为10000×0.05=500株，成活树苗10000×0.95=9500株。………………………………………………………………8
由题意结合3σ原则可知成活树苗低于165cm的概率为
P(X<165)= eq \f(1-0.9545,2) =0.02275
于是估计成活树苗低于165cm的数量9500×0.02275=216.125株；…………………10
A
B
M
C
D
E
F
H
故不成活和成活但高度低于165cm的数量共500+216.125=716.125>715.可以认为M地不符合栽种标准.………………………………………………………………………………12
20. （本小题满分12分）
(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接MH，
则MH为△ACE的中位线，所以MH∥CE.………………2
在平行四边形BDEF中，DB//EF……………………4
EF ,CE⊂平面CEF，MH,DB⊂平面BDM，
EF∩CE=E ,MH∩DB=H
∴平面CEF∥平面BDM.…………………………………………………………………6
(2)取BC的中点O，连接OF，OH，则OF⊥平面ABCD，OH⊥BC，以O为坐标原点，OC，OH，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－2，4eq \r(3)，0)，B(－2，0，0)，C(2，0，0)，D(2，4eq \r(3)，0)，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝(4，4eq \r(3)，0)．BF= eq \r(13)，BO=2
设OF＝ eq \r(BF2BO2)=3，则F(0，0，3)，E(4，4eq \r(3)，3),M(1, 4eq \r(3)， eq \f(3,2))所以eq \(BF,\s\up6(→))＝(2，0，3), eq \(MF,\s\up6(→))=(1，4eq \r(3)， eq \f(3,2))．……………………………………………………………………8
M
A
B
C
D
E
F
H
O
x
y
z
设平面BDEF的法向量为n1＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(BD,\s\up6(→))＝0,n1·\(BF,\s\up6(→))＝0))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋4\r(3)y＝0,2x＋3z＝0))，
令x＝－3，得n1＝(－3，eq \r(3)，2)． ……………………………………………………10
所以cs〈n1，eq \(MF,\s\up6(→))〉＝eq \f(n1·eq \(MF,\s\up6(→)),|n1||eq \(MF,\s\up6(→))|)＝eq \f(-6,\f(\r(205),2)4)＝eq \f(-3\r(205),205)，
直线MF与平面BDEF所成的角的正弦值为eq \f(3\r(205),205).……………………………………12
21. （本小题满分12分）
(1)由已知得b＝4且eq \f(5,a2)＋eq \f(12,b2)＝1,解得a2＝20，……………………………………………2
∴椭圆方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1. ………………………………………………………………………4
（2）1.设直线l为y=k(x2)代入G得：(4+5k2)x220k2x+20k280=0
>0, x1＋x2＝ eq \f(20k2,4+5k2)，x1x2＝ eq \f(20k280,4+5k2),y1y2＝k2[x1x22(x1＋x2)+4]= eq \f(64k2,4+5k2)………………………6
t eq \\ac(\s\up9(→),OM)· eq \\ac(\s\up9(→),ON)+ eq \\ac(\s\up9(→),FM)· eq \\ac(\s\up9(→),FN)
=t(x1,y1)·(x2,y2)+(x12,y1)·(x22,y2)
=t(x1x2+y1y2)+ x1x22(x1＋x2)+4+ y1y2
=t eq \f(20k280,4+5k2)+t eq \f(64k2,4+5k2)+ eq \f(20k280,4+5k2)2 eq \f(20k2,4+5k2)+4+ eq \f(64k2,4+5k2)
= eq \f((44t+64)k2(80t+64), 5k2+4) …………………………………………………………………………8
若t eq \\ac(\s\up7(→),OM)· eq \\ac(\s\up7(→),ON)+ eq \\ac(\s\up7(→),FM)· eq \\ac(\s\up7(→),FN)为定值,故 eq \f(44t+64, 5)= eq \f(80t+64, 4)，解得t=  eq \f(2,7)，定值为 eq \f(72,7) …………10
2.当直线l斜率不存在时，M(2， SKIPIF 1 < 0 ),N(2， SKIPIF 1 < 0 )
所以 eq \\ac(\s\up7(→),OM)=(2， SKIPIF 1 < 0 ), eq \\ac(\s\up7(→),ON)=(2， SKIPIF 1 < 0 ), eq \\ac(\s\up7(→),FM)=(0， SKIPIF 1 < 0 ）, eq \\ac(\s\up7(→),FN)=0， SKIPIF 1 < 0 )
eq \\ac(\s\up7(→),OM)· eq \\ac(\s\up7(→),ON)=4- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 , eq \\ac(\s\up7(→),FM)· eq \\ac(\s\up7(→),FN)= SKIPIF 1 < 0 ，当t=  eq \f(2,7)时，t eq \\ac(\s\up7(→),OM)· eq \\ac(\s\up7(→),ON)+ eq \\ac(\s\up7(→),FM)· eq \\ac(\s\up7(→),FN)= eq \f(72,7)
综上所述，存在常数t=  eq \f(2,7)，使得t eq \\ac(\s\up9(→),OM)· eq \\ac(\s\up9(→),ON)+ eq \\ac(\s\up9(→),FM)· eq \\ac(\s\up9(→),FN)为定值- eq \f(72,7)……………………12
22. （本小题满分12分）
(1) f '(x)= eq \f(lnx,x2),f '(1)=0, f(1)=1, …………………………………………………………1
所以f(x)在x=1处的切线方程为y=1 ………………………………………………………3
(2) f(x) eq \f(k,x+e) 转化为k eq \f((x+e)(1+lnx),x) 恒成立……………………………………………5
设g(x)= eq \f((x+e)(1+lnx),x)(xe),则g'(x)= eq \f(xelnx,x2)，
设h(x)=xelnx(xe),h'(x)= eq \f(xe,x)0,
h(x)在[e,+)上单调递增，h(x)h(e)=0,
所以g'(x)0, g(x)在[e,+)上单调递增，g(x)g(e)=4,故k4…………………………………7
(3)令k=4,由(2)知当xe时， eq \f(1+lnx,x) eq \f(4,x+e)恒成立，
有1+lnx eq \f(4x,x+e),即lnx3 eq \f(4e,x+e)
当n2时，令x=(n22)e>e,……………………………………………………………………9
则有ln[(n22)e]>3 eq \f(4e, (n22)e +e)=3 eq \f(4,n21)=32( eq \f(1,n1) eq \f(1,n+1))
…………
ln(14e)>32( eq \f(1,3) eq \f(1,5))
ln(7e)>32( eq \f(1,2) eq \f(1,4))
ln(2e)>32(1 eq \f(1,3))
将n1个不等式累加得：
ln(2e)+ln(7e)+……+ln[(n22)e]
>3(n1)2(1+ eq \f(1,2) eq \f(1,n) eq \f(1,n+1))=3n6+2( eq \f(1,n)+ eq \f(1,n+1))>3n6
2e7e……(n22)e=27……(n22)en-1>e3n-6………………………………………………11
27……(n22)> e2n-5…………………………………………………………………………12
M地块
N地块
总计
成活
未成活
总计
P(χ2≥k)
0.05
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
M地
N地
总计
成活
95
85
180
未成活
5
15
20
总计
100
100
200