辽宁省营口五中2021届高三上学期第二次月考数学（理）试题 Word版含答案

营口五中2021届高三第二次考试

数学理试卷

一．选择题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数满足，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．-1

3．设，向量，，且 ，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知角终边上一点，则（    ）

A． B． C．3 D．

5．在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．

A． B． C． D．

6．，是锐角三角形的两个内角，复数对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．已知定义在R上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（    ）

A． B． C． D．2

8．已知圆，是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值为（    ）．

A． B．0 C． D．3

9．数列1，，，…，的前n项和为

A． B． C． D．

10．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（    ）．

A．6 B．5 C．4 D．3

11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数为上 的连续函数，当时，，当时，，且对恒成立，函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，则（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．已知向量，，若，则_______.

14.已知等差数列的前项和为，若点，，，满足：①（）；

②，，确定一个平面；③，_______.

15．已知指数函数在（0，1）处的切线为y=x+1，若恒成立，则的取值范围为_______________．

16．，现有下列命题：①已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是或；②函数的图象的对称中心的坐标是；③在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为等腰三角形；④在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则为钝角三角形；⑤在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c若，则；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.

三．解答题

17．在中，角，，所对边分别为，，，．

（1）设，，判断最大时的形状．

（2）若，求周长的取值范围．

18．已知向量，，，且、、分别为的三边、、所对的角.

（1）求角的大小；

（2）若，，成等差数列，且，求边的长.

19.已知等比数列满足，，正项数列前项和为，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和；

（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围．

20．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.

21．已知函数满足，，.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）当且时，求证：.

四．选做题

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，求的值．

23．已知函数，，．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

1．B2．D3．A4．B5．B6．D7．C8．D9．B11．B12．A

13．

14．0

15．

16．②④⑤.

17．（1）直角三角形；（2）．

【详解】

（1）∵，∴由正弦定理得，

∴，，．

∴，

∴时，取得最大值3，

此时，又，则，是直角三角形；

（2）由（1）知，

∴，

∴，当且仅当时等号成立，∴，

又，∴，

∴三角形周长的取值范围是．

18．（1）；（2）.

【详解】

（1），

对于，，.

∴，∴，，

因为，故，而，故.

（2）由，，成等差数列，得，

由正弦定理得.

∵，即，，

由余弦定理，

∴，，∴.

19【答案】（1），；（2）；（3）．

【详解】

（1）设数列公比是，∵，，∴，解得（舍去），∴，

由得，，，，

时，，，

∵，∴，∴是等差数列，．

（2）由（1），

，

∴，

两式相减得，

∴．

（3）由（1），设，

则时，，

∵，∴，即是递减数列，最大项为，

对所有的正整数都有成立，则，∵，

∴，而时，，当且仅当，即时等号成立，

∴．

20．（1）答案见解析；（2）只有一个零点，理由见解析.

【详解】

（1）的定义域为，，

当时，，则在上是增函数；

当时，，

所以；

或；

，

所以在上是减函数，在和上是增函数.

（2）当时，，其定义域为，

则.

设()，则，从而在上是增函数，

又，，

所以存在，使得，即，.

列表如下：

由表格，可得的极小值为；

的极大值为

因为是关于的减函数，且，所以，

所以在内没有零点.

又，，

所以在内有一个零点.

综上，只有一个零点.

21．（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）证明见解析.

【详解】

（1），令，解得，

由，令得，，

所以，.

（2）因为，所以，

，①当时，总有，函数在上单调递增；

②当时，由得函数在上单调递增，

由得函数在上单调递减；

综上，当时，总有，函数在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）设，，得在上递减，

所以当时，；当时，.

而，，

所以在上递增，，

则在上递增，，

①当时，，

，∴在上递减，

，∴，

②当时，，

，，

所以，∴递减，，∴.

综上：.

22．（1）；（2）.

【详解】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，

即.

由，，得曲线的极坐标方程为.

由曲线经过点，则(舍去),

故曲线的极坐标方程为.

（2）由题意可知，,

所以.

23．（1）；（2）存在，．

解：（1）∵，

∴，

当且仅当时，取等号．

∴原不等式等价于，

解得或．

故的取值范围是．

（2）∵，∴，

∵，∴，，

∴原不等式恒成立

在上恒成立，

令，

得，

且，得，

又，得．

故实数的取值范围是．