2022届辽宁省葫芦岛市高三下学期第二次模拟考试数学试卷含答案

  2022年葫芦岛市普通高中高三第二次模拟考试

数学

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】A

2. 设z=i(2+i)，则=

A. 1+2i B. –1+2i

C. 1–2i D. –1–2i

【答案】D

3. 某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

4. 朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第二个音的频率为，第八个音的频率为.则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

故选：A

5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为                                                         

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 若，则（    ）

A.  B.  C. -3 D. 3

【答案】C

7. 若过点可以作曲线两条切线，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

8. 已知是面积为等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）

9. 已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（    ）

参考数据：，，，，.

A. 1586件 B. 1588件 C. 156件 D. 158件

【答案】AB

10. 设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（    ）

A. 0 B. 1 C. 99 D. 100

【答案】BC

11. 已知，，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

12. 已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，多空题第一空2分，第二空3分，共20分.）

13. 已知函数是奇函数，则___________.

【答案】1

14. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

【答案】

15. 展开式中的系数为________．

【答案】30

16. 设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；③，则___________.关于x的不等式的最小正整数解为___________.

【答案】    ①.     ②. 2

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求C；

（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.

【答案】（1）   

（2）4

【小问1详解】

由正弦定理得：，

即，

所以，

因为，

所以，

【小问2详解】

由面积公式得：，解得：，

在三角形BCD中，由余弦定理得：，

因为，当且仅当时，等号成立，经检验，符合要求.

所以，故，

所以BD的最小值为4.

18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，为等腰直角三角形，且，，.

（1）求；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

小问1详解】

取的中点为，连接，如图所示

因为为等腰直角三角形，，是的中点，

所以，，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，过点，作交于，

因为底面是矩形，是的中点，所以是的中点，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设，因为，所以，

所以，

则，

因为，，解得，所以.

即.

【小问2详解】

由（1）知.

则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设二面角所成角为，则

.

所以二面角的余弦值为.

19. 2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.

（1）求获得一､二､三等奖的概率；

（2）设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）获得一､二､三等奖的概率分别为，，   

（2）分布列见解析，数学期望为.

【小问1详解】

一等奖：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现概率均为，

所以概率为，

二等奖：最后一个字为“利”字，前面三个字“抗”“疫”“胜”，不能按顺序出现，

故概率为，

三等奖：“抗”“疫”“胜”三个字有一个字出现了两次，

故概率为

【小问2详解】

的可能取值为1,2,3,4

其中，，，，

分布列为：

数学期望为

20. 已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列通项公式为，求的前100项和.

【答案】（1），   

（2）

【小问1详解】

设数列的首项为，公差为，

则，，

，

因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，

所以，解得：，

所以的通项公式为：，、

因为，又是公比为2的等比数列，

所以的通项公式为：；

【小问2详解】

，

21. 已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

点O与A关于直线对称，

可知，故点，，

由题意可设，，

于是，解得：，

将代入椭圆方程中，，解得：，

所以椭圆方程为

【小问2详解】

证明：，，直线l：，

由题意得：圆心在直线l：上，设，

且，

所以，故，

则，

设直线EF：，，

由，得：，

则，

，，

所以，

则

，

即，解得：（舍去）或，

所以直线EF：，恒过定点

22. 已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设函数在处的切线与x轴平行，若有一个绝对值不大于4的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于4.

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；   

（2）证明过程见解析

【小问1详解】

当时，，定义域R，

所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

【小问2详解】

，

，

因为在处的切线与x轴平行，

所以，解得：，

设的一个零点为，且，

，

所以，

对于，

，

当时，，单调递增，

当或，，单调递减，

由于，，，，

所以，

设除外任一个零点为，

则，

由于，

所以，

即，

整理得：，解得：

所以，命题得证.