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2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
4．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，4） C．（5，4） D．（5，0）
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是连接对称点线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
C．任何一个角都是轴对称图形
D．两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称
8．（3分）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜2x＜ax+4的解集是（ ）
A．0＜x＜3 B．＜x＜6 C．＜x＜4 D．0＜x＜
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）分式有意义的条件是 ．
12．（4分）由甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，那么火车速度是汽车速度的 倍．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为 ．
14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（8分）把下列各式因式分解：
（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2；
（2）（x+1）（x+2）+．
16．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并求其负整数解．
17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上．
（1）在图中直接画出O点的位置；
（2）若以O点为平面直角坐标系的原点，线段AD所在的直线为y轴，过点O垂直AD的直线为x轴，此时点B的坐标为（﹣2，2），请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
20．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点F，AD＝BD，连接DE，过D作DH⊥DE交BE于H．
（1）证明：BF＝AC；
（2）请写出EC，ED，EF的关系式，并说明理由；
（3）若∠ABE＝30°，求的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 ．
22．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．
23．（4分）已知x，y是方程组的解，点P（x，y）是第四象限的一点，则a的取值范围是 ．
24．（4分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
①观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
②若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 ．
25．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换，如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经过γ（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，……依此类推，△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBn∁n，则点A1的坐标是 ，点A2021的坐标是 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
27．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．
（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；
（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．
①求证：AG＝GF；
②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．
28．（12分）图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30⁰
（1）求直线l1，l2的函数表达式；
（2）设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP＝24．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△ACP沿射线PA方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．
2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
【分析】A、根据不等式的性质1，可得答案；
B、根据不等式的性质2，可得答案；
C、根据不等式的性质3，可得答案；
D、根据不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故D错误；
故选：C．
2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
4．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，
解不等式﹣5≤﹣2x+1，得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】运算分式的运算法则计算．有括号的先算括号里的，再乘除，最后加减．
【解答】解：A、应该等于，故不对；
B、应该等于，故不对；
C、正确；
D、原式＝a（a﹣1）＝（a﹣1）2，故不对；
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，4） C．（5，4） D．（5，0）
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3+2，2﹣2），即（5，0），
故选：D．
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是连接对称点线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
C．任何一个角都是轴对称图形
D．两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称
【分析】直接利用轴对称图形的性质以及全等三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、对称轴是连接对称点线段的垂直平分线，正确，不合题意；
B、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，不合题意；
C、任何一个角都是轴对称图形，正确，不合题意；
D、两个三角形全等，这两个三角形不一定成轴对称，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
8．（3分）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
【分析】把（x﹣1）看成一个整体，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣9，
＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3），
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】根据勾股定理求出EA，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，EC＝5，
由勾股定理得，EA＝＝＝13，
∵ED垂直平分AB，
∴EB＝EA＝13，
故选：D．
10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜2x＜ax+4的解集是（ ）
A．0＜x＜3 B．＜x＜6 C．＜x＜4 D．0＜x＜
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式0＜ax+4＜2x的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式0＜2x＜ax+4的解集为0＜x＜．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）分式有意义的条件是 x≠0且x≠1 ．
【分析】根据分式有意义时分母不等于零可计算求解．
【解答】解：由题意得x（x﹣1）≠0，
解得x≠0且x≠1，
故答案为x≠0且x≠1．
12．（4分）由甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，那么火车速度是汽车速度的 倍．
【分析】根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，再用火车速度除以汽车的速度，即可得出答案．
【解答】解：∵甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时，
∴火车速度为km/h，
∵甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，
∴汽车速度为km/h，
∴火车速度是汽车速度的倍数为＝倍．
故答案为：．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为 ．
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
而DH⊥BA，DC⊥BC，
∴DH＝DC＝1，
∴S△ABD＝×1×3＝．
故答案为．
14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 70° ．
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，
∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB′＝∠B′＝55°，
∴∠α＝70°，
故答案为：70°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（8分）把下列各式因式分解：
（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2；
（2）（x+1）（x+2）+．
【分析】（1）直接提取公因式m（m﹣n），进而分解因式得出答案；
（2）直接去括号，合并同类项，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
＝mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）2
＝m（m﹣n）[n﹣（m﹣n）]
＝m（m﹣n）（2n﹣m）；
（2）（x+1）（x+2）+
＝x2+3x+2+
＝（x+）2．
16．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并求其负整数解．
【分析】（1）根据异分母分式加减法则进行计算即可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式组的解法进行求解，得出不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解；（1）原式＝﹣（a﹣1）
＝﹣
＝
＝；
（2）解不等式2x+9≥3，解得x≥﹣3，
解不等式，解得x＜4，
所以不等式解集为：﹣3≤x＜4，
所以不等式组的负整数解为：﹣3，﹣2，﹣1．
17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上．
（1）在图中直接画出O点的位置；
（2）若以O点为平面直角坐标系的原点，线段AD所在的直线为y轴，过点O垂直AD的直线为x轴，此时点B的坐标为（﹣2，2），请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．
【分析】（1）利用BF、AD、CF，它们的交点为O点；
（2）根据题意建立直角坐标系，利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；
（2）如图，△A1B1C1，为所作，点B1的坐标为（2，0）．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设BC的解析式为y＝﹣2x+b，把B（5，0）代入求得y＝﹣2x+10，求得C（0，10），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由y3＜y1得出（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，整理得：（2a﹣5+）x+（2a+b﹣1﹣）＜0，根据题意得出，解得即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入正比例函数y2＝kx得，k＝﹣2，
∴正比例函数为y2＝﹣2x；
∵一次函数y1＝mx+n的图象经过A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．
∴，
解得
∴一次函数为y1＝﹣x+；
（2）设BC的解析式为y＝﹣2x+b，把B（5，0）代入，可得
b＝10，
∴y＝﹣2x+10，
令x＝0，则y＝10，即C（0，10），
∴OC＝10，
∴四边形AOBC的面积＝S△ACO+S△BCO＝×10×1+＝30；
（3）∵y3＜y1，
∴（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，
整理得：（2a﹣5+）x+（2a+b﹣1﹣）＜0，
根据题意得，
解得a＝，b＜﹣2．
20．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点F，AD＝BD，连接DE，过D作DH⊥DE交BE于H．
（1）证明：BF＝AC；
（2）请写出EC，ED，EF的关系式，并说明理由；
（3）若∠ABE＝30°，求的值．
【分析】（1）由AAS定理证明△ADC≌△BDF，即可证明BF＝AC；
（2）由（1）可知BF＝AC，而由ASA定理可证明△AED≌△BHD，从而得到AE＝BH，DE＝DH，于是可得CE＝FH，在等腰Rt△EDH中即可求得EF、EC、ED的关系；
（3）在Rt△BEA中，若∠ABE＝30°，则AE＝AB，BE＝AB，而BE＝DE+BH，于是可得关于DE与AB的式子：DE+AB＝AB，从而可以求出的值．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠AFE＝∠C
而∠AFE＝∠BFD
∴∠C＝∠BFD
而∠ADC＝∠BDF＝90°，AD＝BD
∴Rt△ADC≌Rt△BDF（AAS）
∴AC＝BF
即BF＝AC得证．
（2）解：由（1）可知Rt△ADC≌Rt△BDF，
∴∠CAD＝∠FBD
而∠EDH＝∠ADB＝90°
∴∠EDA＝∠HDB
又有AD＝BD
∴△ADE≌△BDH（ASA）
∴AE＝BH，DE＝DH
∴△EDH是等腰直角三角形，则有EH＝DE
而由（1）知AC＝BF
∴EC＝HF
∴EH＝EF+HF＝EF+EC
即：EF+EC＝ED
故EC，ED，EF的关系式为EF+EC＝ED．
（3）在Rt△BEA中，若∠ABE＝30°，
则AE＝AB，BE＝AB，
而BE＝EH+BH＝EH+AE＝DE+AB
于是可得：DE+AB＝AB，
∴＝
故的值为．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 7 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当x＝+5时，
原式＝[（x﹣2）﹣3]2
＝（x﹣5）2
＝（）2
＝7
故答案为：7
22．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 1＜a≤2 ．
【分析】分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，解之即可．
【解答】解：解不等式2x+1≥3得：x≥1，
解不等式x﹣a＜1得：x＜1+a，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为1≤x＜1+a，
不等式的两个整数解为x＝1和x＝2，
∴2＜1+a≤3，
解得：1＜a≤2，
即实数a的取值范围是1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
23．（4分）已知x，y是方程组的解，点P（x，y）是第四象限的一点，则a的取值范围是 ﹣＜a＜2 ．
【分析】先求出方程组的解，根据点P在第四象限得出，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解方程组得：，
∵点P（x，y）是第四象限的一点，
∴，
解得：﹣＜a＜2，
故答案为：﹣＜a＜2．
24．（4分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
①观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （m+2n）（2m+n） ；
②若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 42cm ．
【分析】①2m2+5mn+2n2即为大矩形的面积，然后观察出大矩形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果；
②根据题中条件得出m+n的值，虚线部分长之和为大矩形的两个长加上两个宽，然后整体代入求值即可．
【解答】解：①2m2+5mn+2n2即为大矩形的面积，长为m+2n，宽为2m+n，
根据面积相等得：2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
②根据题意得：mn＝10，2m2+2n2＝58，
∴m2+n2＝29，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+2×10＝49，
∵m+n＞0，
∴m+n＝7．
虚线部分长之和＝2[（m+2n）+（2m+n）]＝6m+6n＝6（m+n），
当m+n＝7时，6（m+n）＝42，
故答案为：42cm．
25．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换，如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经过γ（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，……依此类推，△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBn∁n，则点A1的坐标是 （﹣，﹣） ，点A2021的坐标是 （﹣，﹣） ．
【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1坐标（﹣，﹣）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣）
△A3B3C3经γ（4，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，）
△A4B4C4经γ（5，180°）变换后得△A5B5C5，A5坐标（﹣，﹣）
依此类推……
可以发现规律：An纵坐标为：（﹣1）n•，
当n是奇数，An横坐标为：﹣，
当n是偶数，An横横坐标为：﹣，
n＝2021时，是奇数，A2021横坐标是﹣，纵坐标为﹣，
故答案为：（﹣，﹣），（﹣，﹣）．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，根据预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案；
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润＝每箱利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，结合（2）中所有方案获利相同，即可得出m﹣40＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲型口罩每箱的进价为800元，乙型口罩每箱的进价为600元．
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，
依题意，得：，
解得：5≤a≤7．
∵a为正整数，
∴a可取5、6、7，
∴共有3种进货方案，方案1：购进5箱甲型口罩，15箱乙型口罩；方案2：购进6箱甲型口罩，14箱乙型口罩；方案3：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩．
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，
依题意，得：w＝800×45%a+（1000﹣600﹣m）（20﹣a）＝（m﹣40）a+8000﹣20m．
∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与a无关，
∴m﹣40＝0，
∴m＝40．
答：m的值为40．
27．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．
（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；
（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．
①求证：AG＝GF；
②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．
【分析】（1）由旋转的性质得出∠FCD＝90°，CF＝CD，证得CF＝AD，可证明△ADG≌△FCG（AAS），则可得结论；
（2）①过点E作EM⊥CB交CD于点M，连接MF，证明△CED≌△MEF（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝MF，∠MEF＝∠ECD＝45°，证明△ADG≌△FMG（AAS），则可得结论；
②由勾股定理求出AB，CD，CM，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，
∴∠FCD＝90°，CF＝CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，
∴AD＝BD，CF∥AD，
∴CD＝AD＝BD，
∴CF＝AD，
又∵∠AGD＝∠CGF，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴AG＝GF；
（2）①证明：过点E作EM⊥CB交CD于点M，连接MF，
由（1）知D为AB的中点，
∴∠DCB＝45°，CD＝AD，
∴△CEM为等腰直角三角形，
∴CE＝ME，
又∵∠CEM＝∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠CED＝∠MEF，
∴△CED≌△MEF（SAS），
∴CD＝MF，∠MEF＝∠ECD＝45°，
∴AD＝MF，∠CMF＝90°，
又∵∠ADG＝90°，
∴∠ADG＝∠FMG，
∵∠MGF＝∠AGD，
∴△ADG≌△FMG（AAS），
∴AG＝GF；
②解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝7，
∴AB＝＝7，
∴CD＝AB＝，
∵CE＝2，CE＝ME，
∴CM＝＝＝2，
∴DM＝CD﹣CM＝＝，
又∵△ADG≌△FMG，
∴DG＝MG＝DM＝．
28．（12分）图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30⁰
（1）求直线l1，l2的函数表达式；
（2）设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP＝24．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△ACP沿射线PA方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．
【分析】（1）求出B，C两点坐标利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设点P（m，m+2），利用三角形的面积公式求出点P坐标，如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
（3）由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a，a+6）．分三种情形：①当AC′＝AP＝8时．②当C′A＝C′P时．③当PA＝PC′＝8时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，
∴OC＝OA＝6，OB＝OA＝2，
∴C（0，6），B（O，2），
∴直线l2的解析式为y＝x+6，直线l1的解析式为y＝x+2．
（2）设点P（m，m+2），
∵S△APC＝S△ABC+S△BCP，
∴•BC•（xP﹣xA）＝24，
∴×4×（m+6）＝24，
解得m＝6，
∴P（6，4），
如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
∵∠CAP＝∠PAO＝30°，
∴点C′在x轴上，AC′＝AC＝12，
∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，
∴∠P′AC′＝90°，PA＝P′A＝8，
∴P′C′＝＝＝4，
∴CM+MN+NP的最小值为4．
（3）如图2中，
由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a，a+6）．
①当AC′＝AP＝8时，（a+6）2+（a+6）2＝（8）2，
解得a＝﹣9﹣3或﹣9+3（舍弃），
∴C′（﹣9﹣3，3﹣）．
②当C′A＝C′P时，（a+6）2+（a+6）2＝（a﹣6）2+（a+6﹣4）2，
解得a＝﹣3，
∴C′（﹣3，5）．
③当PA＝PC′＝8时，（a﹣6）2+（a+6﹣4）2＝（8）2，
解得a＝3﹣3或3+3（舍弃）
∴C′（3﹣3，7﹣）
综上所述，满足条件的点C′的坐标为（﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）．
2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
4．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，4） C．（5，4） D．（5，0）
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是连接对称点线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
C．任何一个角都是轴对称图形
D．两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称
8．（3分）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜2x＜ax+4的解集是（ ）
A．0＜x＜3 B．＜x＜6 C．＜x＜4 D．0＜x＜
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）分式有意义的条件是 ．
12．（4分）由甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，那么火车速度是汽车速度的 倍．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为 ．
14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（8分）把下列各式因式分解：
（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2；
（2）（x+1）（x+2）+．
16．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并求其负整数解．
17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上．
（1）在图中直接画出O点的位置；
（2）若以O点为平面直角坐标系的原点，线段AD所在的直线为y轴，过点O垂直AD的直线为x轴，此时点B的坐标为（﹣2，2），请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
20．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点F，AD＝BD，连接DE，过D作DH⊥DE交BE于H．
（1）证明：BF＝AC；
（2）请写出EC，ED，EF的关系式，并说明理由；
（3）若∠ABE＝30°，求的值．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 ．
22．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ．
23．（4分）已知x，y是方程组的解，点P（x，y）是第四象限的一点，则a的取值范围是 ．
24．（4分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
①观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
②若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 ．
25．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换，如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经过γ（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，……依此类推，△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBn∁n，则点A1的坐标是 ，点A2021的坐标是 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
27．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．
（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；
（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．
①求证：AG＝GF；
②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．
28．（12分）图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30⁰
（1）求直线l1，l2的函数表达式；
（2）设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP＝24．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△ACP沿射线PA方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．
2020-2021学年四川省成都市武侯区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＜ C．﹣2a＜﹣2b D．﹣a＞﹣b
【分析】A、根据不等式的性质1，可得答案；
B、根据不等式的性质2，可得答案；
C、根据不等式的性质3，可得答案；
D、根据不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故D错误；
故选：C．
2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
4．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2＞0，得：x＞2，
解不等式﹣5≤﹣2x+1，得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】运算分式的运算法则计算．有括号的先算括号里的，再乘除，最后加减．
【解答】解：A、应该等于，故不对；
B、应该等于，故不对；
C、正确；
D、原式＝a（a﹣1）＝（a﹣1）2，故不对；
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，4） C．（5，4） D．（5，0）
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3+2，2﹣2），即（5，0），
故选：D．
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．对称轴是连接对称点线段的垂直平分线
B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
C．任何一个角都是轴对称图形
D．两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称
【分析】直接利用轴对称图形的性质以及全等三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、对称轴是连接对称点线段的垂直平分线，正确，不合题意；
B、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，不合题意；
C、任何一个角都是轴对称图形，正确，不合题意；
D、两个三角形全等，这两个三角形不一定成轴对称，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
8．（3分）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x+8）（x+1） B．（x+2）（x﹣4）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x﹣10）（x+8）
【分析】把（x﹣1）看成一个整体，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣9，
＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3），
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】根据勾股定理求出EA，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，EC＝5，
由勾股定理得，EA＝＝＝13，
∵ED垂直平分AB，
∴EB＝EA＝13，
故选：D．
10．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜2x＜ax+4的解集是（ ）
A．0＜x＜3 B．＜x＜6 C．＜x＜4 D．0＜x＜
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式0＜ax+4＜2x的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式0＜2x＜ax+4的解集为0＜x＜．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）分式有意义的条件是 x≠0且x≠1 ．
【分析】根据分式有意义时分母不等于零可计算求解．
【解答】解：由题意得x（x﹣1）≠0，
解得x≠0且x≠1，
故答案为x≠0且x≠1．
12．（4分）由甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，那么火车速度是汽车速度的 倍．
【分析】根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度，再用火车速度除以汽车的速度，即可得出答案．
【解答】解：∵甲地到乙地的一条铁路全程为s千米，火车全程运行时间为a小时，
∴火车速度为km/h，
∵甲地到乙地的公路全程为这条铁路的m倍，汽车全程运行时间为b小时，
∴汽车速度为km/h，
∴火车速度是汽车速度的倍数为＝倍．
故答案为：．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则△ABD的面积为 ．
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
而DH⊥BA，DC⊥BC，
∴DH＝DC＝1，
∴S△ABD＝×1×3＝．
故答案为．
14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 70° ．
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，
∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB′＝∠B′＝55°，
∴∠α＝70°，
故答案为：70°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（8分）把下列各式因式分解：
（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2；
（2）（x+1）（x+2）+．
【分析】（1）直接提取公因式m（m﹣n），进而分解因式得出答案；
（2）直接去括号，合并同类项，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）2
＝mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）2
＝m（m﹣n）[n﹣（m﹣n）]
＝m（m﹣n）（2n﹣m）；
（2）（x+1）（x+2）+
＝x2+3x+2+
＝（x+）2．
16．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并求其负整数解．
【分析】（1）根据异分母分式加减法则进行计算即可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式组的解法进行求解，得出不等式组的解集即可得出答案．
【解答】解；（1）原式＝﹣（a﹣1）
＝﹣
＝
＝；
（2）解不等式2x+9≥3，解得x≥﹣3，
解不等式，解得x＜4，
所以不等式解集为：﹣3≤x＜4，
所以不等式组的负整数解为：﹣3，﹣2，﹣1．
17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上．
（1）在图中直接画出O点的位置；
（2）若以O点为平面直角坐标系的原点，线段AD所在的直线为y轴，过点O垂直AD的直线为x轴，此时点B的坐标为（﹣2，2），请你在图上建立平面直角坐标系，并回答下列的问题：
将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．
【分析】（1）利用BF、AD、CF，它们的交点为O点；
（2）根据题意建立直角坐标系，利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图，点O为所作；
（2）如图，△A1B1C1，为所作，点B1的坐标为（2，0）．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设BC的解析式为y＝﹣2x+b，把B（5，0）代入求得y＝﹣2x+10，求得C（0，10），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由y3＜y1得出（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，整理得：（2a﹣5+）x+（2a+b﹣1﹣）＜0，根据题意得出，解得即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入正比例函数y2＝kx得，k＝﹣2，
∴正比例函数为y2＝﹣2x；
∵一次函数y1＝mx+n的图象经过A（﹣1，2），与x轴交于点B（5，0）．
∴，
解得
∴一次函数为y1＝﹣x+；
（2）设BC的解析式为y＝﹣2x+b，把B（5，0）代入，可得
b＝10，
∴y＝﹣2x+10，
令x＝0，则y＝10，即C（0，10），
∴OC＝10，
∴四边形AOBC的面积＝S△ACO+S△BCO＝×10×1+＝30；
（3）∵y3＜y1，
∴（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，
整理得：（2a﹣5+）x+（2a+b﹣1﹣）＜0，
根据题意得，
解得a＝，b＜﹣2．
20．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点F，AD＝BD，连接DE，过D作DH⊥DE交BE于H．
（1）证明：BF＝AC；
（2）请写出EC，ED，EF的关系式，并说明理由；
（3）若∠ABE＝30°，求的值．
【分析】（1）由AAS定理证明△ADC≌△BDF，即可证明BF＝AC；
（2）由（1）可知BF＝AC，而由ASA定理可证明△AED≌△BHD，从而得到AE＝BH，DE＝DH，于是可得CE＝FH，在等腰Rt△EDH中即可求得EF、EC、ED的关系；
（3）在Rt△BEA中，若∠ABE＝30°，则AE＝AB，BE＝AB，而BE＝DE+BH，于是可得关于DE与AB的式子：DE+AB＝AB，从而可以求出的值．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠AFE＝∠C
而∠AFE＝∠BFD
∴∠C＝∠BFD
而∠ADC＝∠BDF＝90°，AD＝BD
∴Rt△ADC≌Rt△BDF（AAS）
∴AC＝BF
即BF＝AC得证．
（2）解：由（1）可知Rt△ADC≌Rt△BDF，
∴∠CAD＝∠FBD
而∠EDH＝∠ADB＝90°
∴∠EDA＝∠HDB
又有AD＝BD
∴△ADE≌△BDH（ASA）
∴AE＝BH，DE＝DH
∴△EDH是等腰直角三角形，则有EH＝DE
而由（1）知AC＝BF
∴EC＝HF
∴EH＝EF+HF＝EF+EC
即：EF+EC＝ED
故EC，ED，EF的关系式为EF+EC＝ED．
（3）在Rt△BEA中，若∠ABE＝30°，
则AE＝AB，BE＝AB，
而BE＝EH+BH＝EH+AE＝DE+AB
于是可得：DE+AB＝AB，
∴＝
故的值为．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝+5，则代数式（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+9的值是 7 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当x＝+5时，
原式＝[（x﹣2）﹣3]2
＝（x﹣5）2
＝（）2
＝7
故答案为：7
22．（4分）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 1＜a≤2 ．
【分析】分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，解之即可．
【解答】解：解不等式2x+1≥3得：x≥1，
解不等式x﹣a＜1得：x＜1+a，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为1≤x＜1+a，
不等式的两个整数解为x＝1和x＝2，
∴2＜1+a≤3，
解得：1＜a≤2，
即实数a的取值范围是1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
23．（4分）已知x，y是方程组的解，点P（x，y）是第四象限的一点，则a的取值范围是 ﹣＜a＜2 ．
【分析】先求出方程组的解，根据点P在第四象限得出，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解方程组得：，
∵点P（x，y）是第四象限的一点，
∴，
解得：﹣＜a＜2，
故答案为：﹣＜a＜2．
24．（4分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
①观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （m+2n）（2m+n） ；
②若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 42cm ．
【分析】①2m2+5mn+2n2即为大矩形的面积，然后观察出大矩形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果；
②根据题中条件得出m+n的值，虚线部分长之和为大矩形的两个长加上两个宽，然后整体代入求值即可．
【解答】解：①2m2+5mn+2n2即为大矩形的面积，长为m+2n，宽为2m+n，
根据面积相等得：2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
②根据题意得：mn＝10，2m2+2n2＝58，
∴m2+n2＝29，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+2×10＝49，
∵m+n＞0，
∴m+n＝7．
虚线部分长之和＝2[（m+2n）+（2m+n）]＝6m+6n＝6（m+n），
当m+n＝7时，6（m+n）＝42，
故答案为：42cm．
25．（4分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换，如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经过γ（1，180°）变换后所得的图形，若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，……依此类推，△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBn∁n，则点A1的坐标是 （﹣，﹣） ，点A2021的坐标是 （﹣，﹣） ．
【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1坐标（﹣，﹣）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣）
△A3B3C3经γ（4，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，）
△A4B4C4经γ（5，180°）变换后得△A5B5C5，A5坐标（﹣，﹣）
依此类推……
可以发现规律：An纵坐标为：（﹣1）n•，
当n是奇数，An横坐标为：﹣，
当n是偶数，An横横坐标为：﹣，
n＝2021时，是奇数，A2021横坐标是﹣，纵坐标为﹣，
故答案为：（﹣，﹣），（﹣，﹣）．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元．
（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2200元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，根据预计用不多于13400元且不少于13000元的资金购进这两种型号口罩共20箱，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案；
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润＝每箱利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，结合（2）中所有方案获利相同，即可得出m﹣40＝0，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲型口罩每箱的进价为800元，乙型口罩每箱的进价为600元．
（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，
依题意，得：，
解得：5≤a≤7．
∵a为正整数，
∴a可取5、6、7，
∴共有3种进货方案，方案1：购进5箱甲型口罩，15箱乙型口罩；方案2：购进6箱甲型口罩，14箱乙型口罩；方案3：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩．
（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，
依题意，得：w＝800×45%a+（1000﹣600﹣m）（20﹣a）＝（m﹣40）a+8000﹣20m．
∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与a无关，
∴m﹣40＝0，
∴m＝40．
答：m的值为40．
27．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．
（1）如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G．求证：AG＝GF；
（2）如图2，点E是线段CB上一点（CE＜CB）．连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G．
①求证：AG＝GF；
②若AC＝BC＝7，CE＝2，求DG的长．
【分析】（1）由旋转的性质得出∠FCD＝90°，CF＝CD，证得CF＝AD，可证明△ADG≌△FCG（AAS），则可得结论；
（2）①过点E作EM⊥CB交CD于点M，连接MF，证明△CED≌△MEF（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝MF，∠MEF＝∠ECD＝45°，证明△ADG≌△FMG（AAS），则可得结论；
②由勾股定理求出AB，CD，CM，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CF，
∴∠FCD＝90°，CF＝CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，
∴AD＝BD，CF∥AD，
∴CD＝AD＝BD，
∴CF＝AD，
又∵∠AGD＝∠CGF，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴AG＝GF；
（2）①证明：过点E作EM⊥CB交CD于点M，连接MF，
由（1）知D为AB的中点，
∴∠DCB＝45°，CD＝AD，
∴△CEM为等腰直角三角形，
∴CE＝ME，
又∵∠CEM＝∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠CED＝∠MEF，
∴△CED≌△MEF（SAS），
∴CD＝MF，∠MEF＝∠ECD＝45°，
∴AD＝MF，∠CMF＝90°，
又∵∠ADG＝90°，
∴∠ADG＝∠FMG，
∵∠MGF＝∠AGD，
∴△ADG≌△FMG（AAS），
∴AG＝GF；
②解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝7，
∴AB＝＝7，
∴CD＝AB＝，
∵CE＝2，CE＝ME，
∴CM＝＝＝2，
∴DM＝CD﹣CM＝＝，
又∵△ADG≌△FMG，
∴DG＝MG＝DM＝．
28．（12分）图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30⁰
（1）求直线l1，l2的函数表达式；
（2）设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP＝24．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△ACP沿射线PA方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．
【分析】（1）求出B，C两点坐标利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设点P（m，m+2），利用三角形的面积公式求出点P坐标，如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
（3）由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a，a+6）．分三种情形：①当AC′＝AP＝8时．②当C′A＝C′P时．③当PA＝PC′＝8时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵A（﹣6，0），
∴OA＝6，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，
∴OC＝OA＝6，OB＝OA＝2，
∴C（0，6），B（O，2），
∴直线l2的解析式为y＝x+6，直线l1的解析式为y＝x+2．
（2）设点P（m，m+2），
∵S△APC＝S△ABC+S△BCP，
∴•BC•（xP﹣xA）＝24，
∴×4×（m+6）＝24，
解得m＝6，
∴P（6，4），
如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．
∵∠CAP＝∠PAO＝30°，
∴点C′在x轴上，AC′＝AC＝12，
∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，
∴∠P′AC′＝90°，PA＝P′A＝8，
∴P′C′＝＝＝4，
∴CM+MN+NP的最小值为4．
（3）如图2中，
由题意，点C的运动轨迹是直线y＝x+6，设C′（a，a+6）．
①当AC′＝AP＝8时，（a+6）2+（a+6）2＝（8）2，
解得a＝﹣9﹣3或﹣9+3（舍弃），
∴C′（﹣9﹣3，3﹣）．
②当C′A＝C′P时，（a+6）2+（a+6）2＝（a﹣6）2+（a+6﹣4）2，
解得a＝﹣3，
∴C′（﹣3，5）．
③当PA＝PC′＝8时，（a﹣6）2+（a+6﹣4）2＝（8）2，
解得a＝3﹣3或3+3（舍弃）
∴C′（3﹣3，7﹣）
综上所述，满足条件的点C′的坐标为（﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）．
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