高中数学人教版新课标A选修1-13.3导数在研究函数中的应用随堂练习题

函数的单调性与导数

[A组　学业达标]

1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是(　　)

A．增函数

B．减函数

C．在上是减函数，在上是增函数

D．在上是增函数，在上是减函数

解析：∵f′(x)＝1＋>0，∴函数在(0,6)上单调递增．

答案：A

2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．

答案：D

3．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，0)　　　　　　 B．(0,1)

C．(1,4)  D．(0，＋∞)

解析：f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，

由f′(x)>0得xex>0，∴x>0，

∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，故选D.

答案：D

4．已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是(　　)

A．－3  B．－2

C．2  D．3

解析：∵f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，

∴a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，

∴a≥－3，

∴a的最小值为－3.故选A.

答案：A

5．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有(　　)

A．f(x)g(x)>f(b)g(b)  B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(b)>f(b)g(x)  D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

解析：令F(x)＝，则F′(x)＝<0，所以F(x)在R上单调递减．

又a<x<b，∴>>>0.

又f(x)>0，g(x)>0，

∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．

答案：C

6．当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是________．

解析：f′(x)＝1－＝

＝.

由f′(x)<0且x>0得0<x<.

答案：(0，)

7．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________．

解析：f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]·ex，因为f(x)的单调递减区间是，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，

即解得m＝－.

答案：－

8．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是________．

解析：法一：∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，

∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.

法二：由题意得f′(x)≤0在(0,1)内恒成立，

即3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，即2a≥3x－恒成立，

∴2a≥2，∴a≥1.

答案：[1，＋∞)

9．试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．

证明：由于f(x)＝，

所以f′(x)＝＝.

由于0<x<2，

所以ln x<ln 2<1，

故f′(x)＝>0，

即函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．

10．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，试求f(x)的单调区间．

解析：由f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，x∈(0，＋∞)，

得f′(x)＝－f′(1)．

令x＝1，则f′(1)＝1－f′(1)，∴f′(1)＝，

f′(x)＝－.

由f′(x)>0，即－>0，得0<x<2；

由f′(x)<0，即－<0，得x>2.

故f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．

[B组　能力提升]

11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)  B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－∞，1)

解析：令g(x)＝f(x)－2x－4，

则g′(x)＝f′(x)－2，

∵f′(x)>2，

∴g′(x)>0，

∴g(x)＝f(x)－2x－4在R上是增函数，

又∵x＝－1时，g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，

故f(x)>0的解集为(－1，＋∞)，故选B.

答案：B

12．若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(　　)

A．f(a)<eaf(0)  B．f(a)>eaf(0)

C．f(a)＝eaf(0)  D．不能确定

解析：令F(x)＝，则F′(x)＝＝>0，

从而F(x)＝在R上单调递增，于是当a>0时，F(a)＝>F(0)＝＝f(0)，

即f(a)>eaf(0)．

答案：B

13．若x∈[0,2π]，则函数y＝sin x－xcos x的单调递增区间是________．

解析：y′＝cos x－cos x＋xsin x

＝xsin x>0，

∵x∈[0,2π]，

∴sin x>0，

∴0<x<π，

∴函数y＝sin x－xcos x的单调递增区间是(0，π)．

答案：(0，π)

14．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝－ax－2＝－.

因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．

又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．

①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；

②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，

若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，

则解得－1≤a<0，

而当a＝－1时，f′(x)＝＝≥0，不符合题意，故－1<a<0；

③当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，a的取值范围是(－1，＋∞)．

答案：(－1，＋∞)

15．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.讨论f(x)的单调性．

解析：f′(x)＝2ax－＝(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.

此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．