全国统考2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质1备考试题（含解析）

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第二讲　函数的基本性质

练好题·考点自测 

1.下列说法中正确的个数是 (　　)

(1)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).

(2)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.

(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期.　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3 B.4 C.5 D.6

2.[2019北京,3,5分][文]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)

A.y= B.y=2-x

C.y=lox D.y=

3.[2019全国卷Ⅱ,6,5分][文]设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)= (　　)

A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1

4.[2020山东,8,5分]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是              (　　)

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

5.[2021大同市调研测试]已知函数f(x)=ax3+bsin x+cln(x+)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为 (　　)

A.-5 B.1 C.2 D.3

6.[2020福州3月质检]已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论:

①f(x)是周期函数;

②f(x)满足f(x)=f(4-x);

③f(x)在(0,2)上单调递减;

④f(x)=cos是满足条件的一个函数.

其中正确结论的个数是 (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

7.[2018江苏,9,5分]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)= 则f(f(15))的值为　　　　. 

拓展变式

1.(1)函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围为　　　　. 

(2)[2016天津,13,5分]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(),则a的取值范围是　　　　. 

2.(1)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为              (　　)

A.(,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}

(2)已知函数f(x)=(x>0),则函数f(x)的最大值是　　　　. 

3.[新课标全国Ⅰ,5分]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A. f(x)g(x)是偶函数 B. f(x)|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

4.[2021陕西模拟]若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则 (　　)

A.f(-2)<f(-3)<g(-1) 　B.g(-1)<f(-3)<f(-2)

C.f(-2)<g(-1)<f(-3) 　D.g(-1)<f(-2)<f(-3)

5.[2021贵阳市摸底测试]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f(x).则f(8)=              (　　)

A.-2  B.-1 C.0  D.2

6.(1)[2021山东新高考模拟]已知函数f(x)=,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)>0,则下列不等关系成立的是 (　　)

A.m+n>1 B.m+n<1

C.m-n>-1 D.m-n<-1

(2)[2020广西师大附中4月模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x∈(-1,1)时,f(x)=则f(logba)+f(a)+f()=　　　　. 

答  案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第二讲　函数的基本性质

1.B　对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔或所以f(x)在区间D上是增函数,故(2)正确;对于(3),若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故(3)正确;对于(4),若函数y=f(x+b)是奇函数,则f(-x+b)=-f(x+b),则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,故(4)正确;对于(5),根据偶函数的性质可知,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,故(5)正确;对于(6),当n=0时,nT=0,此时nT不是函数f(x)的周期,故(6)错误.故(2)(3)(4)(5)正确,故选B.

2.A　对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A正确;选项D中的函数y=可转化为y=x-1,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,故选项D不符合题意;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递减,当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2-x可转化为y=()x,因此函数y=2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=x在(0,+∞)上单调递减,故选项C不符合题意.故选A.

3.D　解法一　依题意得,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选D.

解法二　依题意得,f(-1)=-f(1)=-(e1-1)=1-e,结合选项知,选D.

4.D　解法一　由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,∴1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,∴-1≤x≤1,又x<0,∴-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.

解法二　当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除A,C.故选D.

5.B　由题意可知,函数f(x)的定义域为R.

令g(x)=ax3+bsin x+cln(x+),则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln[(-x)+]=-ax3-bsin x+cln=-ax3-bsin x+cln=-ax3-bsin x-cln(x+)=-g(x),

所以函数g(x)=ax3+bsin x+cln(x+)为奇函数.(题眼)

又f(x)max=g(x)max+3=5,所以g(x)max=2,于是g(x)min=-2,

所以f(x)min=g(x)min+3=-2+3=1,故选B.

6.B　因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又其图象关于点(1,0)对称,所以 f(-x)=-f(2+x),则f(x+2)=-f(x),由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以①正确;f(-x)=f(x)=f(x+4),把x替换成-x可得f(x)=f(4-x),所以②正确;f(x)=cos是定义在R上的偶函数,且(1,0)是它的图象的一个对称中心,所以④正确;不妨令f(x)=-cos,此时f(x)满足题意,但f(x)在(0,2)上单调递增,所以③错误.

所以正确结论的个数是3.故选B.

7.　因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以4为函数f(x)的周期.因为在区间(-2,2]上,f(x)= 所以f(f(15))=f(f(-1))=f()=cos.

1.(1)-3≤a≤-2　由题意,得解得-3≤a≤-2.

(2)(,)　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(),且f()=f(),所以<2|a-1|<,则|a-1|<,所以<a<.

2.(1)C　f(x)=,因为2x+1>0,所以0<<1,所以<3,即<f(x)<3,所以y=[f(x)]的值域为{0,1,2},故选C.

【易错警示】　本题的易错点是没有理解取整的意思,求出函数的值域后就迫不及待地选择A,从而导致失分.有关此类新定义问题,一定要读懂新定义的含义,并看清题干中所举的例子的特征,才可有效避开此类错误.

(2)　因为f(x)=,设f1(x)=2x-1+2-x+1,所以f1(x)=2x-1+≥2=2,当且仅当2x-1=,即x=1时取等号,即当x=1时, f1(x)min=2.设f2(x)=sin,则f2(x)max=f2(1)=sin=1,所以函数f(x)的最大值是.

3.B　因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.

4.D　因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex　①,所以f(-x)+2g(-x)=

e-x,即f(x)-2g(x)=e-x　②.联立①②,解得所以f(-2)=>0,f(-3)=>0,g(-1)=<0.因为f(-3)-f(-2)=>0,所以g(-1)<f(-2)<f(-3),故选D.

5.D　因为当x>时,f(x+)=f(x),所以当x>时,f(x)的周期为1,所以f(8)=f(7×1+1)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,所以f(8)=2,故选D.

6.(1)C　因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)==1,所以f(x)为增函数.则f(2m-n)+f(2-n)>0⇒f(2m-n)>f(n-2)⇒2m-n>n-2,即m-n>-1.

(2)　当0<x<1时,-1<-x<0,f(x)=-x2+2x,f(-x)=a(-x)2+b(-x)=ax2-bx,由f(-x)=-f(x),得ax2-bx=-(-x2+2x),求得a=1,b=2.又函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数.所以f(logba)+f(a)+f()=f(log21)+f(1)+f()=f(0)+f(1)+f(1 010+)=f(0)+[-f(0)]+f()=f()=.