第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第六讲　函数的图象

1.[2021江西红色七校第一次联考]函数f(x)=的图象大致是 (　　)

2.函数f(x)=的图象大致是 (　　)

　　A　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　D

3.[函数图象在实际生活中的应用]小陈在如图2-6-1所示的跑道上匀速竞走,他从点A出发,沿箭头方向经过点B竞走到点C,共用时30 s,他的教练在一个固定的位置观察小陈竞走,设小陈竞走的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2-6-2所示,则这个固定位置可能是图2-6-1中的(注:点N为跑道的中心,点A,C关于点N对称)(　　)

A.点M B.点N C.点P D.点Q

4.[2020湖北、山东部分重点中学联考]已知二次函数f(x)的图象如图2-6-3所示,则函数g(x)=f(x)·ex的图象为              (　　)

图2-6-3

5.[2021江苏扬州模拟]已知函数f(x)=若f(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为 (　　)

A. B. C. D.

6.[2020南昌市三模]已知函数f(x)满足当x≤0时,2f(x-2)=f(x),且当x∈(-2,0]时,f(x)=|x+1|-1;当x>0时,f(x)=logax(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则a的取值范围是              (　　)

A.(625,+∞) B.(4,64) 

C.(9,625) D.(9,64)

7.[2020安徽省示范高中名校联考]对于函数f(x)=现有下列结论:

①任取x1,x2∈[2,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤1;

②函数y=f(x)在[4,5]上单调递增;

③函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点;

④若关于x的方程f(x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.

 其中正确结论的序号是 (　　)

A.①②③  B.①②④  C.①③④  D.②③④

8.[2020福建永安一中4月模拟]如图2-6-4,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O,在t=0 s时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x(单位:m),令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为

图2-6-4

 (　　)

答 案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

 第六讲　函数的图象

1.A　解法一　函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},f(-x)=,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以f(x)=既不是奇函数也不是偶函数,排除C;当x→+∞时,f(x)→0,排除D;当x<0时,f(x)=>0,排除B.故选A.

解法二　f(-1)=>0,排除B;f(1)=≠f(-1),排除C;<1,所以f(4)<f(2),排除D.故选A.

2.A　当x>1时,y=x单调递增,所以y=ln(x)在(1,+∞)上单调递增,排除B,C;当0<x<1时,πx∈(0,π),则y=cos πx在(0,1)上单调递减,所以y=ecos πx在(0,1)上单调递减,排除D.选A.

3.D　由题图可知,教练所在的固定位置到点A的距离大于到点C的距离,所以排除点N,M;若这个固定位置是点P,则y关于t的函数达到最大值后单调递减,与题图矛盾,排除点P.则固定位置可能为点Q,选D.

4.A　由函数f(x)的图象结合题意知,当x<-1或x>1时,g(x)>0;当-1<x<1时,g(x)<0,由选项可知选A.

5.B　f()=2+=5,f(2)=22=4,f(1)=2,作出函数f(x)的大致图象,如图D 2-6-2所示.

设k=f(a)=f(b)∈(2,4],

由2+a=k,2b=k,得a=()k-2,b=log2k.

当k=4时,a=,b=2,ab=.则当k∈(2,4]时,ab=()k-2×log2k=()k-2(log2k-2k-3).

在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x与y=2x-3的图象,如图D 2-6-3所示.

则由图D 2-6-3可知,当x∈(2,4]时,log2x-2x-3≥0,所以ab≥0,即ab≥,故ab的最小值为,故选B.

【解后反思】　本题通过在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x与y=2x-3的图象,直观得出当x∈(2,4]时,log2x-2x-3≥0,进而得ab≥.这种方法避免了对函数g(k)=()k-2×log2k实施求导求其单调区间和最值的烦琐计算,彰显了利用数形结合方法解题的优越性,将抽象问题变得直观形象,复杂问题变得简单明了.

6.C　当x≤0时,由2f(x-2)=f(x),得f(x-2)=f(x).又当x∈(-2,0]时,f(x)=|x+1|-1,所以当x∈(-4,-2]时,f(x)=,当x∈(-6,-4]时,f(x)=,由此可作出函数f(x)在(-∞,0]上的图象,如图D 2-6-4所示.若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则y=logax的图象关于原点对称的图象与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点.作出y=logax的图象及其关于原点对称的图象,当0<a<1时,y=logax关于原点对称的图象不可能与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点,当a>1时,要使y=logax关于原点对称的图象与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点,则解得9<a<625,故选C.

图D 2-6-4

7.C　f(x)=的图象如图D 2-6-5所示,①当x∈[2,+∞)时,f(x)的最大值为,最小值为,∴任取x1,x2∈[2,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,故①正确;

图D 2-6-5

②函数y=f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同,则函数y=f(x)在[4,5]上不单调,故②错误;③作出y=ln(x-1)的图象,结合图象,易知y=ln(x-1)的图象与f(x)的图象有3个交点,∴函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点,故③正确;④若关于x的方程f(x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3,则x1+x2=3,x3=,∴x1+x2+x3=,故④正确.故选C.

8.B　取t=0,则x=0,此时y=cos x=1,所以函数y=f(t)的图象经过点(0,1),据此可排除选项A,D.(或者取t=1,易知x=π,此时y=cos x=-1,所以函数y=f(t)的图象经过点(1,-1),据此可排除选项A,D)取t=,设圆O与l2的交点为C,D,连接OC,OD.画出图形(如图D 2-6-6所示),此时OA=,OD=1,OA⊥CD,所以∠AOD=,所以∠COD=2∠AOD=,从而可知x=1×,此时y=cos x=,所以函数y=f(t)的图象经过点(,),据此可排除选项C.选B.

图D 2-6-6