高考数学大一轮复习第9章直线和圆的方程第1讲直线方程与两直线的位置关系1试题文含解析

第九章　直线和圆的方程

第一讲　直线方程与两直线的位置关系

练好题·考点自测 

1.[改编题]下列说法正确的是 (　　)

A.直线的倾斜角越大,其斜率越大

B.若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α

C.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示

D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离

2.[2020全国卷Ⅱ,8,5分][文]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 (　　)

A. B. C. D.

3.[2021安徽示范高中联考]已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为              (　　)

A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0

C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0

4.[2016浙江,4,5分]若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 (　　)

A. B. C. D.

5.[2016四川,10,5分][文]设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是              (　　)

A.(0,1) B.(0,2) 

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

6.[2020四川五校联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y-5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB=              (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

7.[2021上海模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　. 

8.[2021山西摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a-1)x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是　　　　　　. 

拓展变式

1.(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=　　　　. 

(2)过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程为　　　　. 

2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,

(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l'的方程;

(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l'的方程;

(3)若直线l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l'的方程.

3.(1)[2020全国卷Ⅲ,8,5分][文]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 (　　)

A.1 B. C. D.2

(2)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y=x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为              (　　)

A. B.2 C. D.3

答  案

第九章　直线和圆的方程

第一讲　直线方程与两直线的位置关系

1.C　对于选项A,当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1<k2,故选项A错误;对于选项B,tanα中的 α不一定在[0,π)内,倾斜角α必在[0,π)内,故选项B错误;对于选项D,截距不是距离,截距可为正数、负数或零,而距离只能是零或正数,选C.

2.B　因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为或,故选B.

3.B　易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又,所以直线l2的方程为y-1=(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.

4.B　不等式组表示的平面区域如图D 9-1-1中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=,即两条平行直线间的距离的最小值是,故选B.

图D 9-1-1

5.A　不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以×()=-1,则x1=.又切线l1:y-ln x1=(x-x1),l2:y+ln x2=(x-x2),于是A(0,ln x1-1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由解得xP=,所以S△PAB=×2×xP=.因为x1>1,所以x1+>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.

6.C　解法一　如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y-5=x+1,即y=x+6,与y=-x联立,得P(-3,3).

所以|PC|==2.设∠APC=α,则∠APB=2α,在△APC中,sin α=,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.

图D 9-1-2

解法二　如图D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2的圆心为C,则C(-1,5),则点C不在直线y=-x上,要满足l1,l2关于直线y=-x对称,则PC必然垂直于直线y=-x,所以|PC|==2,易知圆的半径r=,sin∠APC=,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.

7.3x-2y=0或x-y+1=0　 当直线过原点时,直线的斜率为k=,此时直线方程为y=x,即3x-2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为=1,把(2,3)代入可得a=-1,此时直线方程为x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.

8.　由两条直线互相垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=(a·2b)≤()2=,当且仅当a=,b=时取等号.故ab的最大值是.

1.(1)　由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,因为0<a<2,所以2-a>0,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=(a)2+,所以当a=时,面积最小.

(2)21x-28y-13=0或x=1　因为A,B到直线7x-21y-1=0的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,

即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,

由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得

=

,

整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=或λ=,所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.

2.(1)解法一　直线l的方程可化为y=x+3,可知l的斜率为,因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为.

又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y-3=(x+1),即3x+4y-9=0.

解法二　由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),

将(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直线方程为3x+4y-9=0.

(2)解法一　直线l的方程可化为y=x+3,可知l的斜率为,因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为.

又l'过点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为y-3=(x+1),

即4x-3y+13=0.

解法二　由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,

将(-1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x-3y+13=0.

(3)由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+p=0,

则l'在x轴上的截距为,在y轴上的截距为.

由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=·||·||=4,求得p=±4.

所以直线l'的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.

3.(1)B　记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=,故选B.

(2)C　 过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=.直线AB的方程可化为x+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即,解得m=或m=.因为点P在第一象限,所以m=.故选C.