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2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共计30分）。
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若m＞n＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．m_2＜n﹣2 C．＞ D．m＜n
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2b＝2a2•b B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x2+2x＝x（x+2）
4．（3分）已知实数a，b满足|a﹣3|+＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．以上都不对
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
7．（3分）如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
8．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
9．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣2，4），（﹣6，0），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣6 B．x＜﹣6 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
10．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF；正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共计28分）
11．（4分）a与2的差不大于5，用不等式表示为 ．
12．（4分）不等式3（x+2）≥4+2x的负整数解为 ．
13．（4分）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B＝70°，则∠BAD的度数是 度．
15．（4分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，则不等式k1x+b＞k2x+b的解集为 ．
16．（4分）若a+b＝﹣4，ab＝2，则式子4a2b+4ab2﹣4a﹣4b的值是 ．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为 ．
三、解答题解答题（一）：（本大题共3题，每小题6分，共计18分）
18．（6分）因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y2
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
20．（6分）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
四、解答题（二）：（本大题共3题，每小题8分，共计24分）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN＝1，求BC的长．
22．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
四、解答题（三）：（本大题共2题，每小题10分，共计20分）
24．（10分）目前全球都在针对新冠疫情作积极防控，大型公共场所经常用到消毒产品消毒．某工厂计划生产A、B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料1千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
（1）甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，若生产一箱B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
25．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．
2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共计30分）。
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）若m＞n＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．m_2＜n﹣2 C．＞ D．m＜n
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，故本选项不符合题意；
B、∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不符合题意；
C、∵m＞n＞0
∴＞，故本选项符合题意；
D、∵m＞n，
∴mn，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2b＝2a2•b B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x2+2x＝x（x+2）
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、2a2b是单项式，故此选项不符合题意；
B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C、x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1，等式的右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、x2+2x＝x（x+2），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知实数a，b满足|a﹣3|+＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．以上都不对
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6．
①若a＝3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②若a＝6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，
周长＝6+6+3＝15．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
【解答】解：不等式组
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上可表示为：
故选：A．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∴∠A′B′C＝∠1+∠CAA′＝20°+45°＝65°，
由旋转的性质得∠B＝∠A′B′C＝65°．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB，BC＝2BD＝6，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，BC＝2BD＝6，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AB+AC＝14，
∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝14，
故选：A．
8．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
9．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣2，4），（﹣6，0），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣6 B．x＜﹣6 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故选：C．
10．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF；正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBC，可得△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得∠BCE+∠BCD＝180°，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠ABE＝∠DAE，故③正确；通过证明Rt△CEG≌Rt△AFE，可得AF＝CG，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，
故①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
故②正确；
③∵BD＝BC，BE＝BA，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BEA＝∠BCD＝∠BDC＝∠BAE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BCD＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠DAE，故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共计28分）
11．（4分）a与2的差不大于5，用不等式表示为 a﹣2≤5 ．
【分析】直接根据题意可得a﹣2小于等于5，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：a﹣2≤5．
故答案为：a﹣2≤5．
12．（4分）不等式3（x+2）≥4+2x的负整数解为 ﹣2，﹣1 ．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的负整数解即可．
【解答】解：3（x+2）≥4+2x，
去括号，得3x+6≥4+2x，
移项，得3x﹣2x≥4﹣6，
合并同类项，得x≥﹣2，
所以不等式的负整数解是﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
13．（4分）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3＝ 2ab（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3b﹣4a2b2+2ab3，
＝2ab（a2﹣2ab+b2），
＝2ab（a﹣b）2．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B＝70°，则∠BAD的度数是 30 度．
【分析】根据作图过程可得，DE是线段AC的垂直平分线，得AD＝CD，再根据等腰三角形的性质即可求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，
根据作图过程可知：
DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
则∠BAD的度数是30°．
故答案为30．
15．（4分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，则不等式k1x+b＞k2x+b的解集为 x＞0 ．
【分析】先由已知条件得出直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b的交点横坐标，再结合图象，可得要求的不等式的解集．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，
∴交点的横坐标为0
∵从图象看，当x＞0时，直线y1＝k1x+b的图象位于直线y2＝k2x+b的上方；
当x＜0时，直线y1＝k1x+b的图象位于直线y2＝k2x+b的下方
∴当x＞0时，k1x+b＞k2x+b
故答案为：x＞0．
16．（4分）若a+b＝﹣4，ab＝2，则式子4a2b+4ab2﹣4a﹣4b的值是 ﹣16 ．
【分析】先因式分解，再整体代换求值．
【解答】解：4a2b+4ab2﹣4a﹣4b＝4ab（a+b）﹣4（a+b）．
＝4（a+b）（ab﹣1）．
＝4×（﹣4）×（2﹣1）．
＝﹣16．
故答案为：﹣16．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为 6+4 ．
【分析】连接PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质得到CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，得到△PCP′为等边三角形，求得PP′＝PC＝4，根据全等三角形的性质得到AP′＝PB＝5，根据勾股定理的逆定理得到△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，
∴CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，
∴△PCP′为等边三角形，
∴PP′＝PC＝4，
∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠ACP+∠ACP′＝60°，
∴∠BCP＝∠ACP′，且AC＝BC，CP＝CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′＝PB＝5，
在△APP′中，∵PP′2＝42＝16，AP2＝32＝9，AP′2＝52＝25，
∴PP′2+AP2＝AP′2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，
∴S四边形APCP′＝S△APP′+S△PCP′＝AP×PP′+×PP′2＝6+4，
故答案为：6+4．
三、解答题解答题（一）：（本大题共3题，每小题6分，共计18分）
18．（6分）因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y2
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x2+4y2）2﹣（4xy）2
＝（x2+4y2﹣4xy）（x2+4y2+4xy）
＝（x﹣2y）2（x+2y）2．
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1的坐标（﹣2，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，A2的坐标（4，0）．
20．（6分）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
【分析】首先两边同时乘以6去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项得：﹣5x≤10，
把x的系数化为1得：x≥﹣2．
四、解答题（二）：（本大题共3题，每小题8分，共计24分）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN＝1，求BC的长．
【分析】先利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN＝2，再根据角平分线和平行可证出等腰三角形，从而解得AC＝3即可得出结论．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
在Rt△AMN中，
∵AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
又∵MN∥BC，
∴∠NMC＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝2，
∴AC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BC＝2AN＝6．
22．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤2，
则不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
四、解答题（三）：（本大题共2题，每小题10分，共计20分）
24．（10分）目前全球都在针对新冠疫情作积极防控，大型公共场所经常用到消毒产品消毒．某工厂计划生产A、B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料1千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
（1）甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，若生产一箱B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克，根据“购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可分别求出生产1箱A产品及生产1箱B产品所需材料费，设生产B产品m箱，则生产A产品（80﹣m）箱，根据“用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各生产方案；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据总成本＝生产每箱所需成本×生产数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克，
依题意得：，
解得：．
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40＝100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2＝120（元）．
设生产B产品m箱，则生产A产品（80﹣m）箱，
依题意得：，
解得：38≤m≤40．
又∵m为整数，
∴m可以取38，39，40，
∴符合生产条件的生产方案有3种，
方案1：生产A产品42箱，B产品38箱；
方案2：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案3：生产A产品40箱，B产品40箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，则w＝（120+50）m+（100+40）（80﹣m）＝30m+11200，
∵k＝30＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝38时，w取得最小值，最小值＝30×38+11200＝12340．
答：应选择生产方案1，使生产这80箱产品的成本最低．
25．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．
【分析】（1）证明△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ADF＝∠CDE，根据垂直的定义证明；
（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到GE＝GF，根据三角形的周长公式求出BA，根据正方形的面积公式计算；
（3）作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明△HDC≌△HEP，得到DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，根据勾股定理列方程求出EG，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS）
∴∠ADF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠FDE＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵△BGE的周长为16
∴BE+GB+GE＝16
∴BE+GB+GF＝16
∴BE+BA+AF＝16
∵CE＝AF，
∴BA+CB＝16，
∴BC＝BA＝8，
∴S四边形DEBF＝S四边形DEBA+S△ADF
＝S四边形DEBA+S△DCE
＝S正方形ABCD
＝AB2
＝64；
（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，
∵GF＝GE，DF＝DE，
∴DG垂直平分EF，
∵∠FDE＝90°，
∴DH＝EH，∠DHE＝∠PHC＝90°，
∴∠DHE﹣∠EHC＝∠PHC﹣∠EHC，即∠DHC＝∠EHP，
∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC＝180°，∠HEC+∠HEP＝180°，
∴∠HEP＝∠HDC，
在△HDC和△HEP中，
，
∴△HDC≌△HEP（ASA）
∴DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，
∴在Rt△PHC中，PC＝10，
∴EC＝PC﹣PE＝2，
∴AF＝2，BE＝6，
在Rt△BGE中，设EG＝x，则BG＝10﹣x，
由勾股定理得，（10﹣x）2+62＝x2
解得：x＝，
∴AG＝GF﹣AF＝．
2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共计30分）。
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若m＞n＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．m_2＜n﹣2 C．＞ D．m＜n
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2b＝2a2•b B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x2+2x＝x（x+2）
4．（3分）已知实数a，b满足|a﹣3|+＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．以上都不对
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
7．（3分）如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
8．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
9．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣2，4），（﹣6，0），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣6 B．x＜﹣6 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
10．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF；正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共计28分）
11．（4分）a与2的差不大于5，用不等式表示为 ．
12．（4分）不等式3（x+2）≥4+2x的负整数解为 ．
13．（4分）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B＝70°，则∠BAD的度数是 度．
15．（4分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，则不等式k1x+b＞k2x+b的解集为 ．
16．（4分）若a+b＝﹣4，ab＝2，则式子4a2b+4ab2﹣4a﹣4b的值是 ．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为 ．
三、解答题解答题（一）：（本大题共3题，每小题6分，共计18分）
18．（6分）因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y2
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
20．（6分）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
四、解答题（二）：（本大题共3题，每小题8分，共计24分）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN＝1，求BC的长．
22．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
四、解答题（三）：（本大题共2题，每小题10分，共计20分）
24．（10分）目前全球都在针对新冠疫情作积极防控，大型公共场所经常用到消毒产品消毒．某工厂计划生产A、B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料1千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
（1）甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，若生产一箱B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
25．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．
2020-2021学年广东省佛山市三校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共计30分）。
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）若m＞n＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．m_2＜n﹣2 C．＞ D．m＜n
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，故本选项不符合题意；
B、∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不符合题意；
C、∵m＞n＞0
∴＞，故本选项符合题意；
D、∵m＞n，
∴mn，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2b＝2a2•b B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x2+2x＝x（x+2）
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、2a2b是单项式，故此选项不符合题意；
B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C、x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1，等式的右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、x2+2x＝x（x+2），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知实数a，b满足|a﹣3|+＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．以上都不对
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6．
①若a＝3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②若a＝6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，
周长＝6+6+3＝15．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
【解答】解：不等式组
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上可表示为：
故选：A．
6．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∴∠A′B′C＝∠1+∠CAA′＝20°+45°＝65°，
由旋转的性质得∠B＝∠A′B′C＝65°．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD＝3，△ABC的周长为20，则△AEC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．16 D．12
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB，BC＝2BD＝6，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，BC＝2BD＝6，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AB+AC＝14，
∴△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝14，
故选：A．
8．（3分）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
9．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣2，4），（﹣6，0），则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x＞﹣6 B．x＜﹣6 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故选：C．
10．（3分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF；正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBC，可得△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得∠BCE+∠BCD＝180°，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠ABE＝∠DAE，故③正确；通过证明Rt△CEG≌Rt△AFE，可得AF＝CG，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，
故①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
故②正确；
③∵BD＝BC，BE＝BA，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BEA＝∠BCD＝∠BDC＝∠BAE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BCD＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠DAE，故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共计28分）
11．（4分）a与2的差不大于5，用不等式表示为 a﹣2≤5 ．
【分析】直接根据题意可得a﹣2小于等于5，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：a﹣2≤5．
故答案为：a﹣2≤5．
12．（4分）不等式3（x+2）≥4+2x的负整数解为 ﹣2，﹣1 ．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的负整数解即可．
【解答】解：3（x+2）≥4+2x，
去括号，得3x+6≥4+2x，
移项，得3x﹣2x≥4﹣6，
合并同类项，得x≥﹣2，
所以不等式的负整数解是﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
13．（4分）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3＝ 2ab（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3b﹣4a2b2+2ab3，
＝2ab（a2﹣2ab+b2），
＝2ab（a﹣b）2．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B＝70°，则∠BAD的度数是 30 度．
【分析】根据作图过程可得，DE是线段AC的垂直平分线，得AD＝CD，再根据等腰三角形的性质即可求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，
根据作图过程可知：
DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
则∠BAD的度数是30°．
故答案为30．
15．（4分）如图，直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，则不等式k1x+b＞k2x+b的解集为 x＞0 ．
【分析】先由已知条件得出直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b的交点横坐标，再结合图象，可得要求的不等式的解集．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+b和直线y2＝k2x+b交于y轴上一点，
∴交点的横坐标为0
∵从图象看，当x＞0时，直线y1＝k1x+b的图象位于直线y2＝k2x+b的上方；
当x＜0时，直线y1＝k1x+b的图象位于直线y2＝k2x+b的下方
∴当x＞0时，k1x+b＞k2x+b
故答案为：x＞0．
16．（4分）若a+b＝﹣4，ab＝2，则式子4a2b+4ab2﹣4a﹣4b的值是 ﹣16 ．
【分析】先因式分解，再整体代换求值．
【解答】解：4a2b+4ab2﹣4a﹣4b＝4ab（a+b）﹣4（a+b）．
＝4（a+b）（ab﹣1）．
＝4×（﹣4）×（2﹣1）．
＝﹣16．
故答案为：﹣16．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，连接AP'．若PA＝3，PC＝4，PB＝5，则四边形APCP'的面积为 6+4 ．
【分析】连接PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质得到CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，得到△PCP′为等边三角形，求得PP′＝PC＝4，根据全等三角形的性质得到AP′＝PB＝5，根据勾股定理的逆定理得到△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，
∴CP＝CP′＝4，∠PCP′＝60°，
∴△PCP′为等边三角形，
∴PP′＝PC＝4，
∵∠ACP+∠BCP＝60°，∠ACP+∠ACP′＝60°，
∴∠BCP＝∠ACP′，且AC＝BC，CP＝CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′＝PB＝5，
在△APP′中，∵PP′2＝42＝16，AP2＝32＝9，AP′2＝52＝25，
∴PP′2+AP2＝AP′2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，
∴S四边形APCP′＝S△APP′+S△PCP′＝AP×PP′+×PP′2＝6+4，
故答案为：6+4．
三、解答题解答题（一）：（本大题共3题，每小题6分，共计18分）
18．（6分）因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y2
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x2+4y2）2﹣（4xy）2
＝（x2+4y2﹣4xy）（x2+4y2+4xy）
＝（x﹣2y）2（x+2y）2．
19．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，C的对应点A2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1的坐标（﹣2，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，A2的坐标（4，0）．
20．（6分）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
【分析】首先两边同时乘以6去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项得：﹣5x≤10，
把x的系数化为1得：x≥﹣2．
四、解答题（二）：（本大题共3题，每小题8分，共计24分）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN＝1，求BC的长．
【分析】先利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN＝2，再根据角平分线和平行可证出等腰三角形，从而解得AC＝3即可得出结论．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
在Rt△AMN中，
∵AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
又∵MN∥BC，
∴∠NMC＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝2，
∴AC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BC＝2AN＝6．
22．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
【分析】分别求出不等式组两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集的整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2；
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤2，
则不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
四、解答题（三）：（本大题共2题，每小题10分，共计20分）
24．（10分）目前全球都在针对新冠疫情作积极防控，大型公共场所经常用到消毒产品消毒．某工厂计划生产A、B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料1千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
（1）甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，若生产一箱B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这80箱产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克，根据“购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可分别求出生产1箱A产品及生产1箱B产品所需材料费，设生产B产品m箱，则生产A产品（80﹣m）箱，根据“用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且生产B产品不少于38箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各生产方案；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据总成本＝生产每箱所需成本×生产数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克，
依题意得：，
解得：．
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40＝100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2＝120（元）．
设生产B产品m箱，则生产A产品（80﹣m）箱，
依题意得：，
解得：38≤m≤40．
又∵m为整数，
∴m可以取38，39，40，
∴符合生产条件的生产方案有3种，
方案1：生产A产品42箱，B产品38箱；
方案2：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案3：生产A产品40箱，B产品40箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，则w＝（120+50）m+（100+40）（80﹣m）＝30m+11200，
∵k＝30＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝38时，w取得最小值，最小值＝30×38+11200＝12340．
答：应选择生产方案1，使生产这80箱产品的成本最低．
25．（10分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．
【分析】（1）证明△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ADF＝∠CDE，根据垂直的定义证明；
（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到GE＝GF，根据三角形的周长公式求出BA，根据正方形的面积公式计算；
（3）作HP⊥HC交CB的延长线于点P，证明△HDC≌△HEP，得到DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，根据勾股定理列方程求出EG，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS）
∴∠ADF＝∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠FDE＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE+∠GEF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵△BGE的周长为16
∴BE+GB+GE＝16
∴BE+GB+GF＝16
∴BE+BA+AF＝16
∵CE＝AF，
∴BA+CB＝16，
∴BC＝BA＝8，
∴S四边形DEBF＝S四边形DEBA+S△ADF
＝S四边形DEBA+S△DCE
＝S正方形ABCD
＝AB2
＝64；
（3）过点H作HP⊥HC交CB的延长线于点P，
∵GF＝GE，DF＝DE，
∴DG垂直平分EF，
∵∠FDE＝90°，
∴DH＝EH，∠DHE＝∠PHC＝90°，
∴∠DHE﹣∠EHC＝∠PHC﹣∠EHC，即∠DHC＝∠EHP，
∵在四边形DHEC中，∠HDC+∠HEC＝180°，∠HEC+∠HEP＝180°，
∴∠HEP＝∠HDC，
在△HDC和△HEP中，
，
∴△HDC≌△HEP（ASA）
∴DC＝PE＝8，CH＝HP＝5，
∴在Rt△PHC中，PC＝10，
∴EC＝PC﹣PE＝2，
∴AF＝2，BE＝6，
在Rt△BGE中，设EG＝x，则BG＝10﹣x，
由勾股定理得，（10﹣x）2+62＝x2
解得：x＝，
∴AG＝GF﹣AF＝．
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