湖北省武汉市2021届高三下学期五月供题数学试题

2021届高中毕业生五月供题

数学试卷

2021.5

本试题卷共6页，22題．全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本題共8小题，每小题題5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，则A集合为（　　）

A.        B.        C.        D.

2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　）

A.第一象限        B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限

3.已知函数，若，则实数a的取值范国是（　　）

A.        B.

C.         D.

4.△ABC中，，，设，则（　　）

A.          B.

C.          D.

5.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．（单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（　　）

A. 2A        B.10A        C.100A        D.1000A

6.A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（　　）

A.        B.        C.        D.

7.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交x轴于C点，，则（　　）

A.        B.        C.3       D.

8.在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（　　）

附，

A．400        B.300        C.200        D.100

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分；部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知数列的前n项和为，，则（　　）

A.是等差数列

B.不是等差数列

C.若是递增数列，则a的取值范围是

D.若是递增数列，则a的取值范围是

10.已知函数，则（　　）

A.函数的最小正周期为

B.直线是图象的一条对称轴

C.的值域为

D.若时，在区间上单调，则的取值范围是

11.已知偶函数满足：，且当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是（　　）

A.－2≤x≤0时，

B.点（1，0）是f（x）图象的一个对称中心

C.f（x）在区间[－10，10]上有10个零点

D.对任意，都有

12.A，B，C，D是半径已知的某球体表面上不共面的四点，且AB恰为该球体的一条直径，现已知AC和CD的长，在一般情况下，若再加入一个条件就能使四面体ABCD的体积有唯一值，则该条件可以是（　　）

A.CD⊥AB                         B.BD的长

C.二面角C－AB－D的大小             D.直线CD与平面ABC所成角的大小

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为        ．

14.当x≠0时，函数f（x）满足，写出一个满足条件的函数解析式f（x）=        ．

15.展开式的项数为        ．

16.已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是        ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）

在①；②；③面积，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．

问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，a＝6，b＝sinB，且        ，求△ABC的周长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18.（12分）

等比数列中，．

（1）求；

（2）设，且，求数列的前n项和．

19.（12分）

2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利．某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资．某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量（单位：十万支，i＝1，2，…，9）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：

注：图中日期代码1~9分别对应这连续9天的时间：表中，．

（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；

（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支．

参考公式：回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：

，．参考数据：．

20.（12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值．

21.（12分）

已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点．

（1）求E的标准方程；

（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值．

22.（12分）

已知函数．

（1）证明：f（x）有唯一极值点；

（2）讨论f（x）的零点个数．

武汉市2021届高中毕业生五月供题

数学参考答案及评分细则

选择题

填空题

13. 1  14. （其它正确答案同样给分） 15. 21  16.  

解答题

17.解：

，代入，得，又为锐角，故．      ……（4分）

若选①，，由，得．

又，即，，得．

∴周长为．         ……（10分）

若选②，，即．

化简得，即，解得．

故，此时为等边三角形，周长为．         ……（10分）

若选③，，得．

又，即，，得．

∴周长为．         ……（10分）

18.解：

（1）设公比为，，代入，解得．

当时，；

当时，．                  ……（6分）

（2）当时，，矛盾．

∴，

∴

．        ……（12分）

19.解：

（1）记所求事件为A，9天中日产量不高于三十万支的有5天．

．            ……（4分）

（2），，，．

．

，．令，解得．

∴，即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支．        ……（12分）

20.解：

（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF．

在等腰梯形ABCD中，由AO∥BC且AO＝BC＝AB，故四边形AOCB为菱形，∴AC⊥BO．

又PA＝PC，且E为AC中点，∴AC⊥PE，又PE∩BO＝E，∴AC⊥平面PBO．

又∵PO平面PBO，∴AC⊥PO；同理，由四边形DOBC为菱形，且PB＝PD，

∴BD⊥PO．

又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，又∵PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．  ……（6分）

（2）设，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH．

又PF∩BD＝F，∴OH⊥平面PBD，，故．

又AD＝2OD，故点A到平面PBD的距离．

设直线PA与平面PBD所成角的大小为．

则．

当且仅当，即时取等号，故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为．  …（12分）

21解：

（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为或，即．

当时，E的标准方程为，代入，无解．

当时，E的标准方程为，代入，解得．

故E的标准方程为．            ……（4分）

（2）直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．

由题意，且，化简得：．

设，

将与联立，解得；与联立，解得．

．

由，∴，故面积为定值．          ……（12分）

22.解：

（1）．

设，则，故单调递增．

又，．

故存在唯一，使得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

故 是的唯一极值点．            ……（5分）

（2）由（1） 是的极小值点，且满足．

又；

同理．

故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点．

又

令，解得，即．

令，

此时关于单调递增，故．

令，解得，即．

此时，故

令，解得，即．

此时关于单调递增，故．

综上所述：

当时，有两个零点；

当时，有一个零点；

当时，无零点．       ……（12分）