浙江省宁波市2021届高三下学期5月模拟数学试题

2021年高考数学模拟试题

2021年5月17日

注意事项：

1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；

2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

如果事件，互斥，那么柱体的体积公式

如果事件，相互独立，那么

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率

台体的体积公式

其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

柱体的体积公式

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（      ）

A．            B．         C．                D．

2．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（      ）

A．             B．              C．              D．

3．设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（      ）

A．若，，则                 B．若，，则

C．若，，则                 D．若，，则

4．若实数，满足约束条件，则的最大值是（      ）

A．                B．                  C．0                    D．2

5．已知奇函数的最小正周期为，则的值是（      ）

A．2                  B．                  C．                  D．

6．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（      ）

A．                B．                  C．                 D．

7．在中，“”是“”的（      ）

A．充分不必要条件                             B．必要不充分条件

C．充要条件                                   D．既不充分也不必要条件

8．函数的图象大致为（      ）

A．     B．         C．       D．

9．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（      ）

A．                 B．                   C．                  D．

10．若实数，满足，则（      ）

A．               B．                  C．               D．

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．

11．已知复数满足：，则____________，____________．

12．若二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则________；二项式系数最大的项的系数是________．

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积得最大值为________，此时________．

14．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，则其中0和5不相邻的四位数有________个（用数字作答）；设这些无重复数字的四位数的各数字积为，则________．

15．棱长为6的正方体内有一个棱长为的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则的最大值为____________．

16．已知平面向量，，，满足，，且，则的取值范围是___________．

17．若实数，满足，则的最大值为_______________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

已知函数，

（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；

（2）若时，函数的最大值为0，求实数的值．

19．（本题满分15分）

如图，在四边形中，，，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）

已知数列满足，且，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．

21．（本题满分15分）

已知抛物线：的准线为，

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，点，点为抛物线上一点，直线交抛物线于另一点，且点在线段上，直线交抛物线于另一点，求的内切圆半径的取值范围．

22．（本题满分15分）

已知函数，，，

（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；

（2）求的最大值；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围．

答案及其解析

1-10 CADDC    BBAAC

11.     1/25

12.7    40或80

13.   

14.240    548/25    （48    137/5）均对

15.

16.

17.27/512

18．（1），单调递增区间为，；（2）．

【解析】（1）化简，求出在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据的范围，求出的范围，得到关于的方程，解出即可．

试题解析：（1）

则函数的最小正周期，

根据，，得，

所以函数的单调递增区间为，．

（2）因为，所以，

则当，时，函数取得最大值0，

即，解得：.

19．【详解】

（1）证明：因为，，，

所以平面，

又因为平面，所以．

又因为，，

所以平面．

（2）因为，，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中点，连接，，因为，，

所以，由（1）知，平面，为的中位线，

所以，，即，，两两垂直，

以为原点建立如图所示的坐标系，设，则

，，，，，，

，设平面的一个法向量为，

则由得，令，得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．【详解】

（1）猜想，再数学归纳法证明

（2）由题意得对，恒成立，

记，

则

∵，∴，即是随的增大而增大，

的最小值为，，所以．

21．解：（1）

（2）设，，，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得：

∴且

∴

∴直线的方程为：，

与方程联立得：，化简得：

解得：或

∵

∴轴

设的内切圆圆心为，则在轴上且

方法（一）∴，且的周长为：

∴

∴．

方法（二）设，直线的方程为：，其中

直线的方程为：，即，且点与点在直线的同侧，

∴，

解得：

方法（三）∵

∴，即，

解得：

令，则

∴在上单调增，则，即的取值范围为．

22.（1），且在上有解，则

（2）若时，递减，，则

若，则递增，，则

（4）若，则在递增，递减，递增；

，，.

又因为关于对称，则

而

若，则

若，则

综上.

（3）先考虑必要性，若对任意恒成立，首先必须满足，由（2）知；

若，则

则，所以

若，则

则

令，则

因为在递增，递减，则

；

综上：