2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（23）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（23）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，，则　　

A．，        B．， 

C．，        D．，，

2．复数的虚部为　　

A． B．4 C． D．

3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90

57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是　　

A．10 B．09 C．71 D．20

4．已知，则　　

A． B． C． D．

5．某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有　　种

A．180 B．225 C．200 D．400

6．已知为双曲线的右焦点，以点为圆心，1为半径的圆与的渐近线相切于点，，则的离心率为　　

A． B． C．2 D．3

7．设是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，，均有，则实数的最大值是　　

A． B． C．0 D．1

8．在菱形中，，，连结，沿把折起，使得二面角的大小为，连结，则四面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为，则下列说法正确的是　　

A．应该采用系统抽样的方法 

B．应该采用分层抽样的方法 

C．每个学生被抽到的概率为 

D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人

10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是　　

A．处与处之间的距离是 

B．灯塔与处之间的距离是 

C．灯塔在处的西偏南 

D．在灯塔的北偏西

11．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点．若点满足，则线段的长度可能为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

12．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则的取值可能是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

13．等比数列中，若，，则　　．

14．若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有项的系数为　　．

15．已知抛物线，点、在抛物线上，且分别位于轴的上、下两侧，若，则直线过定点　　．

16．已知，，分别为三个内角，，的对边，角，，成等差数列，且．若，分别为边，的中点，且为的重心，则面积的最大值为　　．

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，，，分别为内角，，所对的边，若．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

18．设为数列的前项和，已知，；数列为各项为正的等比数列，且，，成等差数列．

（1）求数列、的通项公式；

（2）若，，为数列的前项和，求．

19．设是所在平面外一点，，，两两垂直，于点，，，，的面积分别是，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求的值．

20．甲、乙、丙三人组成“梦之队”参加市知识竞答比赛，每轮活动由甲、乙、丙各完成一道问题，在每一轮活动中，如果三人都答对，则“梦之队”得3分；如果只有两个人答对，则“梦之队”得2分；如果三人只有一个人答对，则“梦之队”1分，如果三个人都没有答对，则“梦之队”得0分．已知甲每轮答对的概率是，乙每轮答对的概率是，丙每轮答对的概率是；每轮活动中甲、乙、丙答对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“梦之队”参加三轮活动，求：

（1）“梦之队”第一轮得分的分布列和数学期望；

（2）“梦之队”三轮得分之和为4分的概率．

21．已知曲线上的点都在轴及其右侧，且上的任一点到轴的距离比它到圆的圆心的距离小1．

（1）求曲线的方程；

（2）过点分别作直线，，其中直线交曲线于点，，直线交曲线于点，，且直线过定点，求证：直线的斜率为定值．

22．已知函数，．

（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；

（Ⅱ）若在，上恒成立，求实数的取值范围．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（23）答案

1．解：，，，，

，，，，

，，

故选：．

2．解：，

则复数的虚部是：4．

故选：．

3．解：从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，找出4个在内的编号，14，05，11，09，20．

则得到的第4个样本编号09．

故选：．

4．解：，

，

则，

故选：．

5．解：根据题意，分2步进行分析：

①在六个门类中选出2类，作为甲乙共同选择的科目，有种选法，

②甲乙从剩下的4类中，任选2个，有种选法，

则有种选法，

故选：．

6．解：由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，

则到的距离为，

直线所在直线方程为，

联立，解得，

，得，则．

．

故选：．

7．解：当时，单调递减，且为偶函数，

根据偶函数对称性可知，当时，单调递增，

对任意的，，均有，

故，

即，

由区间的定义可知，，

若，则，即，

由于的最大值，故显然不恒成立，

若，则，即，

所以，

解得，

故的最大值．

故选：．

8．解：如图，取的中点记为，连接，，

分别取与的外心与，

过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点，

则就是外接球的球心，连接，，

为二面角的平面角为，

则是等边三角形，其边长为，

，

在中，，．

又，，

则四面体的外接球的表面积为．

故选：．

9．解：因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故错误，正确；

利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的进行调查，可得每个学生被抽到的概率为，故正确；

设四、五、六三个年级的学生人数之比为，，，由样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，可得，解得，

故样本容量为，

于是可估计三个年级的学生总共有1040人，故错误．

故选：．

10．解：如图，

在中，，，，

由正弦定理得，

处与处的距离为，故正确；

在中，由余弦定理得：

，

解得：，灯塔与处的距离为，故错误；

由，可得，则灯塔在处的西偏南，故正确；

由图可知，在灯塔的北偏西，故错误．

故选：．

11．解：，，设，

由，得，

化简得．

即的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆；

设，，，，由点为的中点，

得，即，代入圆，

可得，即．

点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆．

由图可知，线段的长度的范围为，，

结合选项可知，线段的长度可能为4，6．

故选：．

12．解：函数的定义域是，，

，

在，上，函数单调递减，

在上，函数单调递增，

如图示：

令，则有2个不同的零点，，

，，，，

设，

则，故，

解得：，

故选：．

13．解：因为等比数列中，，，

所以，即，

所以．

故答案为：4．

14．解：的展开式中所有项的二项式系数和为32，

，

解得，

该二项式展开式中含有项的系数为，

故答案为：80．

15．解：设直线的方程为，设，，，，

联立，整理可得：，

所以，，

因为，

所以，可得或，

因为点、在抛物线上，且分别位于轴的上、下两侧，

所以，可得，

所以，

所以直线恒过点，

故答案为：．

16．解：中，角，，成等差数列，，，，

由余弦定理得，，

由，则，

当且仅当时取等号，，

所以的面积为，

又，分别为边，的中点，且为的重心，

由平面几何知识可得的面积为，

所以面积的最大值为，

故答案为：．

17．解：（1）因为，

由题意可得，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理，

可得，

所以，

可得，当且仅当时等号成立，

所以，即面积的最大值为．

18．解：（1）为数列的前项和，已知，①；

当时，解得或（负值舍去），

当时，②，

①②得：，

故（常数），

所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列；

所以．

设公比为的数列为各项为正，且，，成等差数列．

所以，

所以，解得（负值舍去），

故．

（2）由（1）得：，

所以①，

②，

①②得：，

，

故．

19．解：（1）证明：，，两两垂直，

，，

，、平面，

平面，

平面，平面平面．

（2）过作平面于，于点，平面平面，，，共线，设，则的面积，

，

，

同理，，，

三式相加，得：

，

．

20．解：（1）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，

；

；

；

；

所以的分布列为：

；

（2）设“梦之队”三轮得分之和为4分为事件，

（A）．

21．解：（1）解法1：配方法可得圆的方程为，

即圆的圆心为，

设的坐标为，

由已知可得，

化简得，曲线的方程为．

解法2：配方可得圆的方程为，

即圆的圆心为，

由题意可得上任意一点到直线的距离等于该点到圆心的距离，

由抛物线的定义可得知，点的轨迹为以点为焦点的抛物线，

所以曲线的方程为．

（2）证明：依题意可知直线不与坐标轴垂直，故可设其方程为，

代入，得，

其判别式△，

所以或，

设，，，，

则，，

因为点，在曲线上，

所以可设其坐标为，，，，

因为直线过点，

所以可设其方程为，代入，

得，△，

所以，所以，

所以点的坐标为，，

同理可得点的坐标为，，

所以直线的斜率为，为定值．

22．解：（Ⅰ）当时，，

，故，又，

故曲线在点，处的切线方程是：；

（Ⅱ）设函数，，，

由题设条件可知，且，

则，

，

令，解得：，，

，，

①若，即，当，时，，单调递增，

而，，即；

②若即，

当，时，，当，时，，

故在，递减，在，递增，

故在处取得最小值，

而，

，即，

综上，实数的取值范围是，．