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2021届泄露天机高考押题卷之理科数学含答案解析（通用版）
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这是一份2021届泄露天机高考押题卷之理科数学含答案解析（通用版），共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，函数的图象大致是，已知，，则“”是“”的条件等内容，欢迎下载使用。
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．3
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在体积为8的正方体内部任意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为________．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
（参考公式：，期中）
19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
21．（12分）已知函数．
（1） 试讨论函数的零点个数；
（2） 设，为函数的两个零点，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，
故其真子集的个数为个，故选A．
2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，
故选B．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，
可得，所以，解得，故选A．
4．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】由，
因为，所以，所以，故选D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
令，则，故为上的奇函数，
故的图象关于对称，故排除C；
又当时，令，则，
故，故当时，，故排除D；
而，故排除A，
故选B．
6．已知，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】表示顶点分别为的椭圆上及椭圆内部区域内的点，
表示顶点的菱形上以及菱形内部区域内的点，
故可得是的充分不必要条件，故选A．
7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；
B选项，由题得或相交，所以该选项错误；
C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；
D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，
故选C．
8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心且直线与直线垂直，
∴，解得，故选B．
9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
有，
解得，，，
可化为，有，
有，得，
又由，有，故选C．
10．在体积为8的正方体内部任意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作与正方体每个面平行且距离为的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当点落在小正方体内部时，能使四棱锥，，，，，的体积大于，
根据几何概型概率公式知，故选D．
11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为（其中）．
令，，因为，所以．
因为，且，所以，，
故，即．
当时，单调递减，
因为，，
所以，故选D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，故选B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为________．
【答案】27
【解析】由，所以的系数为27，
故答案为27．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令，则；
令，解得或，
即或，解得或，
故的取值范围是．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
【答案】6
【解析】因为，
所以，即，
所以可得，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
故，所以的周长的最大值为6．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为；
易得为奇函数，且为增函数；
又因为，
所以在上恒成立在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
设，所以，且，
当时，，所以在上递增，所以，满足；
当时，令，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不满足，
综上可知，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和，
所以，
令①，
则②，
由①—②可得，
所以，
所以．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
（参考公式：，期中）
【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）分布列见解析，期望为；（3）填表见解析，有的把握认为．
【解析】（1）由题意知，
解得，
样本平均数为，
中位数650，众数600．
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（3）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
10
50
60
女生
15
25
40
合计
25
75
100
，
所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．
19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：连接BD，依题可得，，
∴，∴，
又四边形EDCF为矩形，平面平面，
∴平面，∴，
∵，∴平面，
∴平面平面．
（2）取中点G，连接．
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，不妨设，，则，
；
设平面的一个法向量为，
，不妨设，则，，
，
设向量与的夹角为，则，
，
∴二面角的余弦值为．
20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】依题可知，，
所以，即，
解得①
又椭圆过点，②，
联立①②可得，，
椭圆的标准方程为．
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
21．（12分）已知函数．
（3） 试讨论函数的零点个数；
（4） 设，为函数的两个零点，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，；
当时，，
所以当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，没有零点．
（2）由题意可得函数的定义域为，
，
设，所以，
所以函数在上单调递增，
又，列表如下：
x
1
0
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
设，可得，，
因为，
所以
，
设函数，则，
函数在上单调递增，
所以，
所以，即，
又函数在上单调递减，
所以，所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，
即，
由极坐标与直角坐标的互化公式，，
得曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为．
（2）设，，
将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，
得，
所以，
所以．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）16．
【解析】（1）由，
所以①；
②；
③，
综上所述，
所以不等式的解集为．
（2）因为，
所以函数的最小值为8，即，所以，
由，，为正实数，
则，
所以，当且仅当时，取等号，
故的最小值为16．
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．3
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在体积为8的正方体内部任意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为________．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
（参考公式：，期中）
19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
21．（12分）已知函数．
（1） 试讨论函数的零点个数；
（2） 设，为函数的两个零点，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，
故其真子集的个数为个，故选A．
2．已知复数，若在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，
故选B．
3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，
可得，所以，解得，故选A．
4．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】由，
因为，所以，所以，故选D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
令，则，故为上的奇函数，
故的图象关于对称，故排除C；
又当时，令，则，
故，故当时，，故排除D；
而，故排除A，
故选B．
6．已知，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】表示顶点分别为的椭圆上及椭圆内部区域内的点，
表示顶点的菱形上以及菱形内部区域内的点，
故可得是的充分不必要条件，故选A．
7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，且，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】A选项，当，，时，不能得出，故该选项不正确；
B选项，由题得或相交，所以该选项错误；
C选项，由题得，又，所以，所以该选项正确；
D选项，，时，，，不能得出，故该选项错误，
故选C．
8．已知直线与圆相交于两点，且这两点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心且直线与直线垂直，
∴，解得，故选B．
9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
有，
解得，，，
可化为，有，
有，得，
又由，有，故选C．
10．在体积为8的正方体内部任意取一点，能使四棱锥，，，，，的体积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作与正方体每个面平行且距离为的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当点落在小正方体内部时，能使四棱锥，，，，，的体积大于，
根据几何概型概率公式知，故选D．
11．已知函数（）的值域为，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为（其中）．
令，，因为，所以．
因为，且，所以，，
故，即．
当时，单调递减，
因为，，
所以，故选D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，点是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
由余弦定理得，
即，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，整理得，
所以，，，故选B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为________．
【答案】27
【解析】由，所以的系数为27，
故答案为27．
14．若函数的值域为，试确定的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令，则；
令，解得或，
即或，解得或，
故的取值范围是．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是_________．
【答案】6
【解析】因为，
所以，即，
所以可得，所以，解得，
当且仅当时等号成立，
故，所以的周长的最大值为6．
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为；
易得为奇函数，且为增函数；
又因为，
所以在上恒成立在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
设，所以，且，
当时，，所以在上递增，所以，满足；
当时，令，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不满足，
综上可知，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和，
所以，
令①，
则②，
由①—②可得，
所以，
所以．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
（参考公式：，期中）
【答案】（1），平均数670，中位数650，众数600；（2）分布列见解析，期望为；（3）填表见解析，有的把握认为．
【解析】（1）由题意知，
解得，
样本平均数为，
中位数650，众数600．
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（3）由题可知，样本中男性60人，女性40人，属于“高分选手”的25人，其中女姓15人；得出以下列联表；
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
10
50
60
女生
15
25
40
合计
25
75
100
，
所以有的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关．
19．（12分）如图所示，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：连接BD，依题可得，，
∴，∴，
又四边形EDCF为矩形，平面平面，
∴平面，∴，
∵，∴平面，
∴平面平面．
（2）取中点G，连接．
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，不妨设，，则，
；
设平面的一个法向量为，
，不妨设，则，，
，
设向量与的夹角为，则，
，
∴二面角的余弦值为．
20．（12分）椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】依题可知，，
所以，即，
解得①
又椭圆过点，②，
联立①②可得，，
椭圆的标准方程为．
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
21．（12分）已知函数．
（3） 试讨论函数的零点个数；
（4） 设，为函数的两个零点，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，；
当时，，
所以当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，没有零点．
（2）由题意可得函数的定义域为，
，
设，所以，
所以函数在上单调递增，
又，列表如下：
x
1
0
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
设，可得，，
因为，
所以
，
设函数，则，
函数在上单调递增，
所以，
所以，即，
又函数在上单调递减，
所以，所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由曲线的参数方程，得曲线的普通方程为，
即，
由极坐标与直角坐标的互化公式，，
得曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为．
（2）设，，
将直线的方程为（为参数）代入曲线的方程：，
得，
所以，
所以．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）16．
【解析】（1）由，
所以①；
②；
③，
综上所述，
所以不等式的解集为．
（2）因为，
所以函数的最小值为8，即，所以，
由，，为正实数，
则，
所以，当且仅当时，取等号，
故的最小值为16．
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