（新高考）2021届泄露天机高考押题卷之数学（一）含答案解析

绝密 ★ 启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（一）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以它的共轭复数，其虚部为，故选B．

2．集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，

在集合中，；

在集合中，，

要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，

元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，

，解得，

此时，故选B．

3．已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_____________是“且”．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】已知是一元二次方程的两个不同的实数根，

当且时，可得，；

当且时，可取，，此时不满足且，

所以“且”是“且”的充分不必要条件，

即“且”的充分不必要条件为“且”，故选A．

4．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数在R上是减函数，

，

又幂函数在上单调递增，，

，所以，

而函数是R上增函数，

，，故选B．

5．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，

四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，

所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为，故选B．

6．已知 ()，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，∴，

将两边同时平方得，则，

∵，∴，，

∴，

∴．

7．已知椭圆的方程为，、为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，连接、，是的内心，

可得、分别是和的角平分线，

由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，

则为的角平分线，则到直线、的距离相等，

所以，同理可得，，

由比例关系性质可知．

又因为，所以椭圆的离心率，故选A．

8．在三棱锥中，已知，，，，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【解析】设球半径为，则，，

而，所以是球的直径，球心是中点，

，所以中点是直角的外心，所以平面，

又平面，所以，

，，，

是中点，所以，

故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（    ）

A．线性回归方程对应的直线一定经过点

B．5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为

C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为100的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取30名学生

D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”

【答案】ABC

【解析】对A，线性回归方程对应的直线一定经过样本中心点，故A正确；

对B，恰好取到1件次品的概率为，故B正确；

对C，应从高二年级中抽取名学生，故C正确；

对D，若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件；

若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，

所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”，

故D错误，

故选ABC．

10．已知函数，则下列结论中错误的是（    ）

A．点是的一个对称中心点

B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到

C．在上单调递增

D．是方程的两个解，则

【答案】BCD

【解析】，

所以，

对于A：令，解得，

当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；

对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；

对于C：当时，，而函数在上单调递减，

故C错误；

对于D：令，解得或，

即或，所以，故D错误，

综上，故选BCD．

11．在中，角所对的边分别为，则能确定为钝角的是（    ）

A．

B．均为锐角，且

C．均为锐角，且

D．

【答案】AC

【解析】对于A：，即，可得，

又为三角形的内角，所以为钝角；

对于B：均为锐角，等价于，

又因为在上单调递增，所以，

即，，故B错误；

对于C：均为锐角，可得，，

又，所以，故B为钝角；

对于D：，所以，所以为锐角，故D错误，

综上选AC．

12．已知函数，若，且，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】当时，．

设函数，则有，，

，故是偶函数，且最小值为0．

当时，，

所以在上单调递增，

又是偶函数，所以在上单调递减．

把的图象向右平移一个单位长度，

得到函数的图象，

故函数的图象关于直线对称，

故可得到函数在上的图象．

又，故函数的图象与轴的交点为．

作平行于轴的直线，

当时，直线与函数的图象有四个交点．

数形结合可知，故A正确；

由，得，

又根据题意知，所以，

即，即，所以，故B正确；

令，则，，

得，，

因此，故C正确；

又时，，

且函数在上单调递增，

所以，故D错误，

故选ABC．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等差数列的前项和为，若，则______．

【答案】45

【解析】因为，所以，

因此，故答案为45．

14．的展开式中含的项的系数为_________．

【答案】

【解析】由题意知：含项为按的升幂排列的第4项，

∴，

∴，

∴该项的系数为，故答案为．

15．已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为__________．（注）

【答案】

【解析】，，

与直线平行的切线斜率，解得或，

当时，，即切点为，

此时点到直线的距离为；

当时，，即切点为，

此时点到直线的距离为：，

故答案为．

16．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________．

【答案】，

【解析】设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，

设正四面体的棱长为，球的半径为．

则，，

依题可得，球心在上，，代入数据可得，

则，，

又，，

故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，

，

三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是．

以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，

，，，，

设，，

故，，

设直线与直线所成角为，

∵，

∴，

又，故，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前项和为，且，，，

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】∵，

∴，∴，

又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

故数列的通项公式为．

（2）据（1）可得，

所以，

，

两式相减得，

化简得．

18．（12分）的内角、、的对边分别为、、，．

（1）求；

（2）若，求周长最大时，的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，∴，

，．

（2）∵，

据（1）可得，∴，

∴，∴，∴，

当且仅当时等号成立，

即当时，取得最大值，即周长取得最大值，

此时．

19．（12分）如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由题意得，，，

∵，，垂直于底面，

∴，，，，

可得，所以，故．

由，，，，，得．

又，由，得，所以，

故．

又，因此平面，

因为平面，故．

（2）如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴，过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由题意知各点坐标如下：

，，，，，

因此，，，．

设平面的法向量，

所以，即，则；

同理可得，平面的一个法向量，

，

故二面角的余弦值为．

20．（12分）2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分．每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮．每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三、四题回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求甲同学能进入下一轮的概率；

（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】用表示甲第i个问题回答正确，

表示甲第i个问题回答错误，

则，，，；

，，，．

（1）记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：

，

即甲同学能进入下一轮的概率为．

（2）由题意知的可能取值：2，3，4，

∴；

；

．

∴分布列为

∴．

21．（12分）已知椭圆，过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆左焦点为，三角形的面积为，不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点为线段的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点总满足，证明：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）依题可得的坐标为，，可得，

又，，解得，，

故椭圆的方程为．

（2）证明：依题可得直线的斜率存在，设直线的直线方程为，

设，，，

由，可得，

，即，

，，

因为，所以，

，

即，

得，化简得，

直线的方程为，

所以，直线恒过定点．

22．（12分）已知函数．

（1）若有两个零点，求的取值范围；

（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；

当时，；

当时，，

所以当，即，有两个零点，

∴有两个零点时，的范围是．

（2）对任意的，不等式恒成立，

在上恒成立，

令，则，

令，则，

在上为增函数，

又，，

，使得，即，

时，，

，在上单调递减；

时，，

，在上单调递增，

，

由，可得，

令，则，

又，在上单调递增，

，，，，

，，

综上所述，满足条件的的取值范围是．