专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径.

二．解题策略

类型一    构造法（补形法）

【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．

【答案】

【解析】

由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又， ，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.

【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.

【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，

由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，

∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，

∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，

∴外接球的体积为.

故选：B．

【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.

【举一反三】

1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图所示，将直三棱柱补充为长方体，

则该长方体的体对角线为，

设长方体的外接球的半径为，则，,

所以该长方体的外接球的体积，

故选C.

2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：如图，

把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，

则，

∴三棱锥外接球的半径

∴三棱锥外接球的表面积为．

故选：C．

3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.

故答案为：C.

 类型二   正棱锥与球的外接

【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为   （    ）

A．    B．   C．    D．

【答案】A．

【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径.

【举一反三】

1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为(　　)

A.     B.     C．2     D．4

【答案】A

【解析】 (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S­ABC的体积最大．学科*网

因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.

在Rt△SHO中，OH＝OC＝，

所以SH＝＝1，

故所求体积的最大值为××22×1＝.

2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．

【答案】

【解析】

解：如图，

设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，

设等边三角形ABC的中心为O，则，

，

，即．

再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，

则，即．

∴正四面体ABCD的外接球的体积为.

故答案为：．

3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．

【答案】

【解析】

因为，所以，

所以，同理，

故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，

则且，所以，

当平面时，平面截球的截面面积最小，

此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为．填．

  类型三   直棱柱的外接球

【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，

则此球的表面积等于          .

【答案】

【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.     

【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.

【举一反三】

1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（   ）

A．16 B．15

C． D．

【答案】A

【解析】

由题， ，

因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，

故三棱柱的高

故体积

故选A

2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.

3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最     值，为       .

【答案】大   

三．强化训练

一、选择题

1、《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，

故四棱锥的高为，

所以外接球的直径为，

所以．

故选：D．

2．【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：如图所示：

三棱锥中，平面，

M是线段上一动点，线段长度最小值为，

则：当时，线段达到最小值，

由于：平面，

所以：，

解得：，

所以：，

则：，

由于：，

所以：

则：为等腰三角形．

所以：，

在中，设外接圆的直径为，

则：，

所以：外接球的半径，

则：，

故选：C．

3．【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，，，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为，三棱銋O一ABC的体积为，若的最大值为3，则球O的表面积为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意，设的外接圆圆心为，其半径为，球的半径为，且

依题意可知，即，显然，故，

又由，故，

∴球的表面积为，故选B.

4．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：取的中点，连接，.

因为，，所以 ，

可得即为二面角的平面角，故

在中，,

同理可得，

由余弦定理得 ，

解得

在中，

所以，为直角三角形，

同理可得为直角三角形，

取中点，则，

在与中，,,

所以点E为该球的球心，半径为，

所以球的表面积为，故选B.

5．【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为球的表面积为，所以,

因为所以三角形ABC为直角三角形，

从而球心到平面ABC距离为,

因此四面体体积的最大值为，选C.

6．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC， ，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】

设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，，

则，

因为，所以，

因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.

7．【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：如图，

由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，

且，，

把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，

则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，

外接球的表面积为．

故选：C．

8．【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，在三棱锥（鳖臑）中，，平面，所以其外接球的直径．设，则 ，所以其外接球的体积，解得．设四棱锥（阳马）的外接球半径为，则，所以该球的表面积．故选C．

二、填空题

9．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】

,

是正三角形，

是等腰直角三角形，

设中心为，外心为，则是斜边的中点，

所以，

设三棱锥外接球球心为，

则平面平面，

由余弦定理，

，

，

设球半径为，

球的表面积为，故答案为.

10．【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_____．

【答案】

【解析】

与球心在同一平面内，是的外心，

设球半径为，

则的边长，

，

当到所在面的距离为球的半径时，

体积最大，

，

，

球表面积为，故答案为.

11．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.

【答案】

【解析】

由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，

因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，

令为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos,

∴sin，∴，∴，又OF=,

可得，

计算得， ，

所以.

故答案为

12．【陕西省榆林市2019届三模】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．

【答案】

【解析】

易知三棱锥的外接球的球心为，∴，∴，

很明显到底面的距离为1，∴，∴.

13．【云南省2019届高三第一次检测】已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，，,平面平面，则球的表面积为_____.

【答案】

【解析】

设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，，，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.

14．【陕西省汉中市2019届高三第二次检测】三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于__________．

【答案】

【解析】

把三棱锥，放到长方体里,如下图:

,因此长方体的外接球的直径为,

所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.

15．【山西省吕梁市2019年4月模拟】在四棱锥中，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，则四棱锥的外接球的表面积是_____．

【答案】

【解析】

解：如图，

设等边三角形PAB的中心为G，则 ，

设四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为O，连接OP，则OP为四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径，

OP2＝PG2+OG2＝22+12＝5，

∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是4π×5＝20π．

故答案为：20π．

16．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模)】已知是球表面上四点，点为的中点，且，，，，则球的表面积是__________．

【答案】

【解析】

由题意可知与都是边长为的正三角形，如图，过与的外心分别作平面与平面的垂线，两垂线的交点就是球心，连接，可知，在直角三角形中，，，

所以，

连接，所以球的半径为，

因此球的表面积是.

故答案为

17.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期一模】在三棱锥中，是等边三角形，底面， ，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】

如图，为底面中心，为中点，球心

平面，，所以为中点，

在中，

，，，

可得，

故外接球表面积为：．

故答案为：．