外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题、线段和最短问题（解析版）

外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题、线段和最短问题

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /30

一、单选题

1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，

则，，

因为⊥，⊥，所以∽，则，

设，，

故，由得：，

由得：，

故，所以，，

解得：，

所以圆锥的表面积为，

令，，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故在时取得最小值，，

此时，，

设圆锥的外接球球心为，连接，设，

则，

由勾股定理得：，即，

解得：，故其外接球的表面积为.

故选：A

2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为，

则

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为

又设四棱锥的高为，则，

当且仅当即时等号成立.

故选：C

[方法二]：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高.

故选：C．

[方法三]：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，

，，单调递增， ，，单调递减，

所以当时，最大，此时．

故选：C.

【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．

3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则的长度的最小值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,

∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，

，,

，四边形为平行四边形，

，而在平面中，易证，

∵平面，平面，平面，

平面，平面，平面，

又，平面，∴平面平面，

∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，

∴点P的轨迹是线段EF，

，，∴，

∴当P与O重合时，的长度取最小值，

故选：D．

4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法

设正四棱锥的底面边长为，高为，

则，,

所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，

当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，

又时，，时，,

所以正四棱锥的体积的最小值为，

所以该正四棱锥体积的取值范围是.

故选：C.

[方法二]：基本不等式法

由方法一故所以当且仅当取到，

当时，得，则

当时，球心在正四棱锥高线上，此时，

，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是

5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在三棱锥中，  平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外心为，外心为，DB中点为E.

因，平面，平面平面，

平面平面，则平面，又平面，

则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，

则四边形为矩形.外接圆半径.

又因，，则.故外接圆半径.

又.

 又平面，平面，则.

故外接球半径，

故外接球表面积为.

故选：A

6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，所以的外接圆的圆心为的中点,且，

取的中点，连接，则，所以平面；

设三棱锥的外接球的球心为，则在上，

设，，球半径为，

因为，所以，所以，

因为，所以，因为，所以，

即外接球半径的最大值为，

所以三棱锥的外接球的体积的最大值为.

故选：C.

7．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为，高为，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则

，解得，

由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小，设外接球的半径为R，则，解得，所以外接球的体积为.

故选：D.

8．（2023·广东佛山·统考一模）已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为为球的直径，，是球的球面上两点，

所以，又，，

所以，，

所以为等边三角形且，

设的外接圆的半径为，则，所以，

则球心到平面的距离，

所以点到平面的距离，

又，

所以.

故选：A

9．（2023·贵州贵阳·统考一模）棱锥的内切球半径，其中，分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图可还原三棱锥如下图所示，

其中平面，，，

，

棱锥表面积，

该棱锥的内切球半径.

故选：C.

10．（2023·广东肇庆·统考二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱

设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设，

在中，

因为为的中心，则，，

在中即；

在中，，即，

在中，，则；

在中，，则，

在中，，则，

又因为，则，化简得，

由得解得.

故选：C.

11．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（    ）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为

C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为

【答案】B

【解析】如图，取棱的中点，连接，

因为分别为，的中点，

所以，在中，，由于平面，平面，

所以平面，

因为，所以，四边形为平行四边形，

所以，因为平面，平面，

所以，平面，

因为，平面，

所以，平面平面，

由于为体对角线的中点，

所以，连接并延长，直线必过点，

故取中点，连接，

所以，由正方体的性质易知，

所以，四边形是平行四边形，，，

因为，，，

所以，共线，即平面，

所以，四边形为点的轨迹，故A选项错误；

由正方体的棱长为，所以，四边形的棱长均为，且对角线为，，

所以，四边形为菱形，周长为，故CD选项错误，

由菱形的性质知，线段的最大值为，故B选项正确.

故选：B

12．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，.

在上下底面由勾股定理可知，.

在梯形中，，

所以该四棱台的体积为，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时，.

取的中点，连接、，显然有，平面，

平面，所以平面，因此平面就是截面.

显然，

在直角梯形 中，，

因此在等腰梯形中，，

同理在等腰梯形中，，

在等腰梯形中，设，

则，

，

所以梯形的面积为，

故选：C.

二、填空题

13．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：

①平面截得球的截面面积最小值为；

②球的表面积是圆柱的表面积的；

③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．

其中所有正确的命题序号为___________.

【答案】①③

【解析】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：

易知，，，

由勾股定理可得，

则由题可得，

设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，

因为平面，当平面时，取最大值，即，

所以，，

所以平面截得球的截面面积最小值为，①对；

对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

球的表面积为，圆柱的表面积为，

所以球与圆柱的表面积之比为，②错；

对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，

则，，，

由勾股定理可得，令，则，其中，

所以，，

所以，，

因此，，③对.

故答案为：①③.

14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：

①异面直线与所成角的余弦值为；

②平面；

③点B到平面的距离为；

④截面面积的最小值为6．

其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）

【答案】②④

【解析】依题意得，因为，

所以异面直线与所成的角即或其补角，

在中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．

由于平面平面，

所以平面，故②正确．

设点B到平面的距离为h，由，

得，解得，故③错误．

如图，过点A作，连接，

因为平面，所以，又，

所以平面，平面，

则，平面平面，平面平面，

故为与平面所成的角，则，

在中，，则有，

在中，由射影定理得，

由基本不等式得，

当且仅当，即E为的中点时，等号成立，

所以截面面积的最小值为，，故④正确．

故答案为：②④.

15．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为______.

【答案】

【解析】如下图所示

设与平面交于点，易知，平面，

由平面，所以，又，面，

所以平面，面，所以，同理可证，

由，面，所以平面.

因为，所以，

又因为,所以.

倍长至，则，

故点是点关于平面的对称点.

那么有，.

所以.

如下图，以为原点，分别为轴、轴、轴建系，

则，，，即.

所以，即的最小值为.

故答案为：.

16．（2023·广西桂林·统考一模）已知棱长为8的正方体中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为___________．

【答案】

【解析】，则在的延长线上，且，

由正方体性质知平面，当在平面上时，平面，，由得，因此点轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的，弧长为，从而知点在以为顶点的三个面内．

当在棱上时，，，

因此点在面时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的圆弧，圆弧的圆心角为，弧长为，同理点在面内的轨迹长度也为，

所以所求轨迹长度为．

故答案为：．